Question

Здравствуйте, возьмём простейшее уравнение sin x = 1. Его корень таков: x=π/2+2πk, k€Z (это так называемый частный случай). Теперь решим это же уравнение, воспользовавшись общей формулой корней синуса. Получим после использования данной формулы следующий корень: x=(-1)^n×arcsin(1)+πk => (-1)^n×π/2+πk. Мой, собственно, вопрос: куда из корня уравнения частного случая делась (-1)^n и откуда в нём появилась двойка перед πk, ведь в общей формуле её нет? Объясните, пожалуйста, связь между частным случаем корня и общим (если она существует, конечно...).

Answer 1

Давайте разберемся более подробно.

У вас есть уравнение \( \sin(x) = 1 \). Вы правильно нашли корни частного случая, который выглядит как \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число.

Теперь давайте воспользуемся общей формулой корней для уравнения \(\sin(x) = a\), где \(a\) - некоторое число между -1 и 1:

\[ x = (-1)^n \arcsin(a) + 2\pi k, \]

где \(n\) - четное целое число, если \(k\) четно, и нечетное, если \(k\) нечетно. Также, \(\arcsin(a)\) возвращает значение в интервале \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).

Теперь подставим \(a = 1\) в эту формулу:

\[ x = (-1)^n \arcsin(1) + 2\pi k. \]

Так как \(\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\), у нас получится:

\[ x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k. \]

Теперь, разберемся с тем, почему в частном случае у вас появляется форма \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), а в общем случае у вас есть форма \(x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k\).

Когда вы решаете \(\sin(x) = 1\), это эквивалентно \(\arcsin(1)\). В случае \(\arcsin(1)\), значение всегда \(\frac{\pi}{2}\), поэтому в частном случае \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\). В общем случае формула содержит \(n\), чтобы учесть возможность различных знаков в разных квадрантах синусоиды. В случае \(\arcsin(1)\), этот множитель \(n\) оказывается равным 1 (так как \(\frac{\pi}{2}\) находится в первом квадранте).

Таким образом, частный случай является частным случаем общей формулы, и в данном уравнении конкретный выбор параметра \(n\) не играет роли.