Question

Решить логарифмическое уравнение: log3(x^2-3x+2)=1

Answer 1

Давайте решим логарифмическое уравнение:

\[ \log_3(x^2 - 3x + 2) = 1 \]

Первым шагом давайте избавимся от логарифма. Поскольку у нас логарифм по основанию 3, мы можем переписать уравнение в экспоненциальной форме:

\[ 3^1 = x^2 - 3x + 2 \]

Теперь у нас квадратное уравнение. Приведем его к стандартной форме:

\[ x^2 - 3x + 2 - 3 = 0 \]

\[ x^2 - 3x - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя, например, метод дискриминанта. Дискриминант \( \Delta \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется как \( \Delta = b^2 - 4ac \).

В данном случае:

\[ a = 1, \ b = -3, \ c = -1 \]

\[ \Delta = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[ x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \]

\[ x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \] \[ x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \]

Таким образом, уравнение \(\log_3(x^2 - 3x + 2) = 1\) имеет два решения:

\[ x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \] \[ x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \]