Question

(sin2x+sinx)^2+(cos2x+cosx)^2=1

Answer 1

Для начала, мы можем раскрыть квадраты в левой части уравнения:

(sin2x + sinx)^2 + (cos2x + cosx)^2 = sin^22x + 2sin2xsinx + sin^2x + cos^22x + 2cos2xcosx + cos^2x.

Заметим, что sin^2x + cos^2x = 1 для любого значения x, поэтому у нас остается:

sin^22x + 2sin2xsinx + cos^22x + 2cos2xcosx + 1.

Теперь обратимся к тригонометрическим тождествам. Зная, что sin2x = 2sinxcosx и cos2x = 1 - 2sin^2x (если заменить sin^2x на 1 - cos^2x), мы можем переписать выражение как:

(2sinxcosx)^2 + 2sin2xsinx + (1 - 2sin^2x) + 2(1 - 2sin^2x)cosx + 1.

Раскроем квадрат и упростим выражение:

4sin^2xcos^2x + 2sin^3x + 1 - 2sin^2x + 2 - 4sin^2xcosx + 1 = 4sin^2xcos^2x - 2sin^2x + 2sin^3x - 4sin^2xcosx + 4.

Стараясь получить 1 на правой части, мы видим, что нам нужно избавиться от остальных слагаемых. Но мы можем заметить, что первое слагаемое 4sin^2xcos^2x - 2sin^2x + 2sin^3x - 4sin^2xcosx может быть записано как (2sin^2x - sinxcosx)^2.

Поэтому мы можем переписать исходное уравнение как:

(2sin^2x - sinxcosx)^2 + 4 = 1.

Вычитая 4 из обеих сторон, получим:

(2sin^2x - sinxcosx)^2 = -3.

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений в действительных числах.