Question

Пожалуйста!найдите все значения параметра а при каждом из которых уравнение 2sinx+cosx=a имеет единственное решение на отрезке [ pi/4 ; 3pi/4]

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение \(2\sin(x)\cos(x) = a\) на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\). Здесь \(a\) - параметр, а \(x\) - переменная.

1. Начнем с того, что выразим \(2\sin(x)\cos(x)\) через тригонометрический идентификатор: \[2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\]

2. Теперь уравнение примет вид: \[\sin(2x) = a\]

3. Рассмотрим значения параметра \(a\):

a. Если \(|a| > 1\), то уравнение \(\sin(2x) = a\) не имеет решений на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\), так как значения синуса ограничены интервалом \([-1, 1]\), и не существует такого угла \(2x\), что \(\sin(2x)\) будет равно числу, модуль которого больше 1.

b. Если \(|a| = 1\), то уравнение \(\sin(2x) = a\) имеет единственное решение на указанном отрезке. Например, при \(a = 1\) уравнение примет вид \(\sin(2x) = 1\), и решение будет \(x = \frac{\pi}{4}\).

c. Если \(|a| < 1\), то существует бесконечное количество решений уравнения \(\sin(2x) = a\). Однако, чтобы уравнение имело единственное решение на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\), необходимо и достаточно, чтобы аргумент \(\sin\) (то есть \(2x\)) также принадлежал этому отрезку.

d. Посмотрим, при каких значениях параметра \(a\) это возможно:

\[ \frac{\pi}{4} \leq 2x \leq \frac{3\pi}{4} \]

Разделим все части неравенства на 2:

\[ \frac{\pi}{8} \leq x \leq \frac{3\pi}{8} \]

Таким образом, для \(a\), при котором уравнение \(\sin(2x) = a\) имеет единственное решение на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\), должно выполняться условие \(|a| < 1\) и \(\frac{\pi}{8} \leq x \leq \frac{3\pi}{8}\).

Итак, параметр \(a\) должен удовлетворять условию \(0 < |a| < 1\), чтобы уравнение \(2\sin(x)\cos(x) = a\) имело единственное решение на отрезке \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\).