Question

Постройте график функции f)(x) =x^2+8x+7,используя график найдите: 1)область значений функции 2)промежуток возрастания и промежуток убывания функции 3)множество решений неравенства а) f(x) <0; б) f(x) >0

Answer 1

К сожалению, я не могу напрямую построить график, но я могу помочь вам с описанием шагов и предоставлением информации.

У вас задана квадратичная функция \(f(x) = x^2 + 8x + 7\). Для построения графика можно использовать различные инструменты, такие как графические калькуляторы, программы для построения графиков или онлайн-ресурсы.

Однако, даже не имея графика, мы можем провести анализ функции:

1. Область значений функции: Область значений функции - это множество всех возможных значений \(f(x)\) при всех значениях \(x\) из области определения функции. Для квадратичной функции \(f(x) = x^2 + 8x + 7\) область значений будет всеми действительными числами, так как квадратное уравнение имеет дискриминант, который всегда неотрицателен.

2. Промежуток возрастания и промежуток убывания: Для определения промежутков возрастания и убывания нужно вычислить производную функции и решить неравенство \(f'(x) > 0\) для промежутков возрастания и \(f'(x) < 0\) для промежутков убывания.

Вычислим производную: \[f'(x) = 2x + 8.\]

Решим уравнение \(2x + 8 = 0\), чтобы найти стационарные точки: \[2x = -8 \implies x = -4.\]

Теперь выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов: \((- \infty, -4)\), \((-4, +\infty)\), и \(x = -4\). Подставим \(x = -5\) в \(f'(x)\): \(2(-5) + 8 = -2\), что меньше нуля. Значит, функция убывает на интервале \((- \infty, -4)\). Подставим \(x = -3\) в \(f'(x)\): \(2(-3) + 8 = 2\), что больше нуля. Значит, функция возрастает на интервале \((-4, +\infty)\).

Таким образом, функция возрастает на \((-4, +\infty)\) и убывает на \((- \infty, -4)\).

3. Множество решений неравенств: а) Решим неравенство \(f(x) < 0\). Значения \(x\), при которых функция меньше нуля, будут лежать в интервалах, где функция убывает. б) Решим неравенство \(f(x) > 0\). Значения \(x\), при которых функция больше нуля, будут лежать в интервалах, где функция возрастает.

Таким образом, для \(f(x) < 0\) множество решений будет \((- \infty, -4)\), и для \(f(x) > 0\) множество решений будет \((-4, +\infty)\).