Question

Даю 44 балла.Решить уравнение:(2*корень 3-8sinxcosx)(sin3x+1)=0

Answer 1

Давайте решим уравнение \((2\sqrt{3} - 8\sin{x}\cos{x})(\sin{3x} + 1) = 0\).

Рассмотрим каждый множитель отдельно и найдем значения \(x\), при которых каждый из них равен нулю.

1. \((2\sqrt{3} - 8\sin{x}\cos{x}) = 0\):

Разложим \(2\sqrt{3}\) как \(2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\sin{\frac{\pi}{3}}\), где \(\frac{\pi}{3}\) - угол, соответствующий точке \((\cos{\frac{\pi}{3}}, \sin{\frac{\pi}{3}})\) на единичной окружности.

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[2\sqrt{3}\sin{\frac{\pi}{3}} - 8\sin{x}\cos{x} = 0\]

Решим это уравнение относительно \(\sin{x}\cos{x}\):

\[2\sqrt{3}\sin{\frac{\pi}{3}} - 8\sin{x}\cos{x} = 0\]

\[\sqrt{3} - 4\sin{x}\cos{x} = 0\]

\[4\sin{x}\cos{x} = \sqrt{3}\]

\[\sin{2x} = \frac{\sqrt{3}}{4}\]

Теперь найдем \(x\):

\[2x = \arcsin{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}\]

\[x = \frac{1}{2}\arcsin{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}\]

2. \((\sin{3x} + 1) = 0\):

Решим уравнение \(\sin{3x} + 1 = 0\):

\[\sin{3x} = -1\]

Так как \(\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1\), то:

\[3x = \frac{3\pi}{2}\]

\[x = \frac{\pi}{2}\]

Таким образом, уравнение \((2\sqrt{3} - 8\sin{x}\cos{x})(\sin{3x} + 1) = 0\) имеет два решения:

\[x = \frac{1}{2}\arcsin{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}\]

\[x = \frac{\pi}{2}\]

Пожалуйста, уточните, если у вас есть какие-либо вопросы или если что-то требует дополнительных пояснений.