Question

Различные ненулевые числа x и y удовлетворяют равенству x^4-2018x^3-2018y^2x=y^4-2018y^3-2018yx^2. Найдите сумму x+y.

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем привести его к более удобному виду. Исходное уравнение:

\[ x^4 - 2018x^3 - 2018y^2x = y^4 - 2018y^3 - 2018yx^2 \]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[ x^4 - 2018x^3 - 2018y^2x - y^4 + 2018y^3 + 2018yx^2 = 0 \]

Теперь попробуем факторизовать это уравнение. Обратите внимание, что \(x\) и \(y\) - это переменные, и мы ищем их значения. Мы можем вынести общий множитель:

\[ x^3(x - 2018) - y^3(y - 2018x) - 2018yx(x - y) = 0 \]

Теперь у нас есть произведение трех множителей, и один из них должен быть равен нулю:

1. \(x^3 = 0 \Rightarrow x = 0\) 2. \(x - 2018 = 0 \Rightarrow x = 2018\) 3. \(y^3 = 0 \Rightarrow y = 0\) 4. \(y - 2018x = 0 \Rightarrow y = 2018x\) 5. \(x - y = 0 \Rightarrow x = y\)

Теперь рассмотрим возможные комбинации:

- Если \(x = 0\), то из уравнения \(y = 0\). - Если \(x = 2018\), то из уравнения \(y = 2018 \times 2018 = 4072324\). - Если \(y = 0\), то из уравнения \(x = 0\). - Если \(y = 2018x\), то подставив в исходное уравнение, получим, что \(x\) и \(y\) могут быть любыми ненулевыми числами.

Теперь рассмотрим случай \(x = y\):

Подставим \(x = y\) в исходное уравнение:

\[ x^4 - 2018x^3 - 2018x^2x = x^4 - 2018x^3 - 2018x^3 \]

Упростим:

\[ -2018x^3 = -2018x^3 \]

Это утверждение верно для любого значения \(x\).

Итак, у нас есть несколько решений:

1. \(x = 0, y = 0\) 2. \(x = 2018, y = 4072324\) 3. \(x = y\) (где \(x\) и \(y\) - любые ненулевые числа)

Теперь найдем сумму \(x + y\) для каждого случая:

1. \(x + y = 0 + 0 = 0\) 2. \(x + y = 2018 + 4072324 = 4074342\) 3. \(x + y = 2x\) (где \(x\) и \(y\) - любые ненулевые числа, но равные между собой)

Таким образом, сумма \(x + y\) может быть равна 0, 4074342 или быть любым удвоенным ненулевым числом.