Question

Известно,что углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите радиус описанной окружности, если сторона, средняя по длине, равна 4 √3.

Answer 1

Давайте обозначим углы треугольника через \(A\), \(B\) и \(C\), где \(A\), \(B\) и \(C\) — вершины треугольника, а \(a\), \(b\) и \(c\) — соответствующие стороны. Также обозначим радиус описанной окружности через \(R\).

Если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, то у нас есть следующие равенства:

\[B = A + d,\] \[C = A + 2d,\]

где \(d\) — разность арифметической прогрессии.

Также, известно, что радиус описанной окружности можно выразить через стороны треугольника и площадь \(S\) по формуле:

\[R = \frac{abc}{4S}.\]

Сначала найдем стороны треугольника. У нас есть информация о средней стороне:

\[b = 4\sqrt{3}.\]

Теперь, воспользуемся законом косинусов, чтобы найти остальные стороны:

\[a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)},\]

\[c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)}.\]

Теперь, зная стороны \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем вычислить полупериметр \(s\) и площадь \(S\):

\[s = \frac{a + b + c}{2},\]

\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\]

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности:

\[R = \frac{abc}{4S}.\]

Данное уравнение будет зависеть от угла \(A\), который мы можем найти, используя закон синусов:

\[\sin(A) = \frac{a}{2R}.\]

После вычисления угла \(A\) мы можем найти углы \(B\) и \(C\) и, таким образом, получить радиус описанной окружности.