Question

Решите уравнение sin^4  x+cos^4  x=5/8

Answer 1

Давайте решим уравнение sin^4(x) + cos^4(x) = 5/8.

Для начала, давайте заменим sin^2(x) и cos^2(x) в уравнении, используя тождество Пифагора: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Теперь у нас есть уравнение sin^4(x) + cos^4(x) = 5/8, которое можно переписать в виде (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = 5/8.

Заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) в уравнении: (1 - cos^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = 5/8.

Раскроем квадраты и приведем подобные слагаемые: 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x) + cos^4(x) = 5/8.

Объединим слагаемые с cos^4(x): 2cos^4(x) - 2cos^2(x) + 1 = 5/8.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos^2(x): 2cos^4(x) - 2cos^2(x) + 1 - 5/8 = 0.

Приведем дробь к общему знаменателю и упростим: 16cos^4(x) - 16cos^2(x) + 8 - 5 = 0.

Итак, получили квадратное уравнение: 16cos^4(x) - 16cos^2(x) + 3 = 0.

Теперь давайте введем замену: пусть z = cos^2(x). Тогда уравнение примет вид: 16z^2 - 16z + 3 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 16 * 3 = 256 - 192 = 64.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня.

z1 = (-b + √D) / 2a = (16 + √64) / (2 * 16) = (16 + 8) / 32 = 24 / 32 = 3/4.

z2 = (-b - √D) / 2a = (16 - √64) / (2 * 16) = (16 - 8) / 32 = 8 / 32 = 1/4.

Теперь найдем значения cos(x) для каждого из этих корней.

cos^2(x) = z1 = 3/4. Поскольку cos^2(x) не может быть больше 1, это значит, что у нас нет решений для этого значения.

cos^2(x) = z2 = 1/4. Теперь найдем корни это квадратного уравнения: cos(x) = ±√(1/4) = ±1/2.

Итак, у нас есть два значения cos(x): cos(x) = 1/2 и cos(x) = -1/2.

Для каждого из этих значений cos(x), мы можем найти соответствующее значение sin(x) с использованием тождества Пифагора: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Для cos(x) = 1/2, sin^2(x) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4. Тогда sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2.

Для cos(x) = -1/2, sin^2(x) = 1 - (-1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4. Тогда sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2.

Итак, у нас есть четыре решения для уравнения sin^4(x) + cos^4(x) = 5/8:

1. x = arcsin(√3/2) + 2kπ, где k - целое число. 2. x = -arcsin(√3/2) + 2kπ, где k - целое число. 3. x = arccos(-1/2) + 2kπ, где k - целое число. 4. x = -arccos(-1/2) + 2kπ, где k - целое число.

Это подробное решение уравнения sin^4(x) + cos^4(x) = 5/8.