Question

Найдите точку максимума функции y=x^3-2x^2+x+3

Answer 1

Для нахождения точки максимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3, необходимо найти ее критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Критические точки могут быть точками максимума или минимума функции.

Давайте найдем производную функции y по переменной x:

y' = 3x^2 - 4x + 1

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным уравнением или методом факторизации. Решив это уравнение, мы найдем два значения x, которые представляют собой критические точки функции.

После получения значений x, мы можем подставить их в исходную функцию y = x^3 - 2x^2 + x + 3, чтобы получить соответствующие значения y. Точка с наибольшим значением y будет точкой максимума функции.

Давайте решим уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Для этого можно воспользоваться квадратным уравнением, которое имеет вид:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае a = 3, b = -4 и c = 1. Подставим эти значения в формулу:

x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4(3)(1))) / (2(3)) x = (4 ± √(16 - 12)) / 6 x = (4 ± √4) / 6

Теперь вычислим значения x:

x1 = (4 + √4) / 6 = (4 + 2) / 6 = 6 / 6 = 1 x2 = (4 - √4) / 6 = (4 - 2) / 6 = 2 / 6 = 1/3

Теперь подставим эти значения x в исходную функцию y = x^3 - 2x^2 + x + 3, чтобы найти соответствующие значения y:

y1 = (1)^3 - 2(1)^2 + (1) + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 y2 = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + (1/3) + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 10/27

Таким образом, у нас есть две критические точки: (1, 3) и (1/3, 10/27). Поскольку y1 = 3 больше, чем y2 = 10/27, то точка (1, 3) является точкой максимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3.

Ответ:

Точка максимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3: (1, 3)