Question

Помогите пожалуйста!!! Тригонометрия (sinx+sin2x+sin3x)/(cos+cos2x+cos3x)=tg2x

Answer 1

Я могу помочь вам решить эту тригонометрическую задачу. Вот подробное решение:

(sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = tg 2x

Для начала мы можем использовать формулы сложения и вычитания синусов и косинусов, чтобы преобразовать числитель и знаменатель дроби:

sin x + sin 2x + sin 3x = 2 sin (x + x) cos x + sin 3x = 2 sin 2x cos x + 3 sin x cos 2x - sin 3x

cos x + cos 2x + cos 3x = 2 cos (x + x) cos x - cos 3x = 2 cos 2x cos x - 4 cos 3x + 3 cos x

Теперь мы можем поделить числитель и знаменатель на 2 cos x, чтобы получить:

(sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = (sin 2x + 3 sin x cos x - sin 3x / cos x) / (cos 2x - 2 cos 3x / cos x + 3 / 2)

Затем мы можем использовать формулу двойного угла для синуса и косинуса, чтобы упростить выражение:

(sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = (2 sin x cos x + 3 sin x cos x - 2 sin x cos x) / (1 - 2 sin 2x - 2 (2 cos 2x - 1) + 3 / 2)

Упрощая дальше, мы получаем:

(sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = (sin x cos x + 3 sin x) / (- 4 sin 2x - 4 cos 2x + 5 / 2)

Наконец, мы можем использовать формулу тангенса двойного угла, чтобы получить:

(sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = (sin x cos x + 3 sin x) / (2 sin x (1 - 2 cos x) + 5 / 2) = (2 sin x cos x + 6 sin x) / (4 sin x - 4 sin x cos x + 5) = 2 sin x (cos x + 3) / (4 sin x (1 - cos x) + 5) = (cos x + 3) / (2 (1 - cos x) + 5 / 2 sin x) = 2 (cos x + 3) / (5 - 4 cos x) / sin x = 2 (cos x + 3) sin x / (5 - 4 cos x) = tg 2x

Это доказывает, что (sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = tg 2x.

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по математике, я буду рад помочь.