Question

Log 5(3x+2)>log 5(x-1)

Answer 1

Чтобы решить неравенство вида \(\log_a(bx+c) > \log_a(d)\), где \(a > 0\) и \(a \neq 1\), мы можем использовать свойства логарифмов.

Для начала, давайте применим свойство логарифма, согласно которому \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\). Также воспользуемся тем, что \(\log_a(b) > \log_a(c)\) тогда и только тогда, когда \(b > c\).

Итак, у нас есть \(\log_5(3x+2) > \log_5(x-1)\). Применим свойство логарифмов:

\[\log_5(3x+2) - \log_5(x-1) > 0\]

Теперь объединим логарифмы с помощью свойства разности логарифмов:

\[\log_5\left(\frac{3x+2}{x-1}\right) > 0\]

Теперь мы знаем, что выражение внутри логарифма должно быть положительным:

\[\frac{3x+2}{x-1} > 0\]

Теперь решим неравенство с учетом того, что знаменатель не может быть равен нулю (\(x-1 \neq 0\)):

1. Рассмотрим числитель: \(3x+2 > 0\). Решение этого неравенства: \(x > -\frac{2}{3}\).

2. Рассмотрим знаменатель: \(x-1 > 0\). Решение этого неравенства: \(x > 1\).

Теперь объединим эти два интервала, учитывая, что \(x-1 \neq 0\):

\[x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right) \cup (1, \infty)\]

Таким образом, неравенство \(\log_5(3x+2) > \log_5(x-1)\) выполняется для всех \(x\), принадлежащих интервалу \((- \infty, -\frac{2}{3}) \cup (1, \infty)\).