Question

Одна из сторон вписанного в окружность треугольника равна диаметру, две других стороны равны 9 и 12. Найдите радиус окружности

Answer 1

Давайте обозначим вписанный треугольник ABC, где AB и AC - равны 9 и 12 соответственно (длины двух сторон), а BC - диаметр окружности. Также пусть O - центр окружности, а R - её радиус.

1. Рассмотрим треугольник ABC и вспомним свойство вписанных углов. Угол, заключённый между хордой и дугой окружности, равен половине меры этой дуги. Так как BC - диаметр, угол BOC - прямой угол.

2. Также известно, что угол между касательной и радиусом, проведённым к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, угол BAO (где AO - радиус) также равен 90 градусам.

3. Получается, что треугольник BAO - прямоугольный. Мы знаем длины сторон AB и BC, а значит, можем применить теорему Пифагора:

\[ AO^2 + BO^2 = AB^2 \]

Поскольку угол BAO прямой, \( AO^2 + BO^2 \) равно квадрату гипотенузы, то есть квадрату радиуса \( R^2 \). Таким образом, у нас есть:

\[ R^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2 \]

Подставляем значения:

\[ R^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 9^2 \]

\[ R^2 + 6^2 = 81 \]

\[ R^2 + 36 = 81 \]

\[ R^2 = 45 \]

\[ R = \sqrt{45} \]

\[ R = 3\sqrt{5} \]

Итак, радиус окружности равен \(3\sqrt{5}\).