Question

Вычислить(или показать его сходимость или расходимость) несобственный интеграл от 1 до бесконечности. ln(x^2+1)/x dx

Answer 1

Для вычисления данного несобственного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод замены переменной. В данном случае, я расскажу о методе интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям

Для применения метода интегрирования по частям, мы используем следующую формулу:

∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - функции, а du и dv - их дифференциалы.

Возьмем u = ln(x^2 + 1) и dv = dx, тогда du = (2x / (x^2 + 1)) dx и v = x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ln(x^2 + 1)/x dx = ln(x^2 + 1) * x - ∫x * (2x / (x^2 + 1)) dx.

Упрощая это выражение, получим:

∫ln(x^2 + 1)/x dx = ln(x^2 + 1) * x - 2∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx.

Теперь рассмотрим второй интеграл ∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx. Мы можем разложить его на простые дроби, используя метод частных дробей.

Метод частных дробей

Для разложения ∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx на простые дроби, мы представляем его в виде:

∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx = ∫(A / (x + i)) dx + ∫(B / (x - i)) dx,

где A и B - неизвестные коэффициенты, а i - мнимая единица.

Умножим обе части на (x^2 + 1):

x^2 = A(x - i) + B(x + i).

Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:

x^2 = (A + B) * x + (-A * i + B * i).

Сравнивая вещественную и мнимую части, получим два уравнения:

A + B = 1, -A * i + B * i = 0.

Из второго уравнения следует, что A = B. Подставляя это в первое уравнение, получим:

2A = 1, A = 1/2.

Теперь мы можем выразить B, заменяя A во втором уравнении:

-B * i + B * i = 0, B * (1 - i + i) = 0, B = 1/2.

Таким образом, мы получили разложение:

∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx = ∫(1/2 / (x + i)) dx + ∫(1/2 / (x - i)) dx.

Интегрируя каждую дробь, получим:

∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx = (1/2) * ln(x + i) + (1/2) * ln(x - i) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вернуться к исходному несобственному интегралу ∫ln(x^2 + 1)/x dx и подставить полученное значение:

∫ln(x^2 + 1)/x dx = ln(x^2 + 1) * x - 2 * [(1/2) * ln(x + i) + (1/2) * ln(x - i)] + C.

Сходимость или расходимость несобственного интеграла

Чтобы определить сходимость или расходимость несобственного интеграла ∫ln(x^2 + 1)/x dx от 1 до бесконечности, мы должны проанализировать поведение функции под интегралом при x, стремящемся к бесконечности.

ln(x^2 + 1) / x можно рассматривать как функцию f(x) = ln(x^2 + 1) / x.

Мы можем использовать предельный признак сравнения для несобственных интегралов:

Если существует положительная функция g(x), такая что f(x) ≤ g(x) для всех x ≥ a (где a - нижний предел интегрирования) и ∫g(x) dx сходится, то ∫f(x) dx также сходится.

В данном случае, мы можем рассмотреть g(x) = ln(x) / x. Проверим, сходится ли ∫g(x) dx:

∫(ln(x) / x) dx = ln(x) * ln(x) - ∫(ln(x) * (1 / x)) dx.

Интеграл ln(x) * (1 / x) можно вычислить методом интегрирования по частям:

∫(ln(x) * (1 / x)) dx = ln(x) * ln(x) - ∫(1 * (1 / x)) dx.

Упрощая это выражение, получим:

∫(ln(x) * (1 / x)) dx = ln(x) * ln(x) - ln(x) + C.

Теперь мы можем вернуться к ∫(ln(x) / x) dx:

∫(ln(x) / x) dx = ln(x) * ln(x) - ln(x) + C.

Таким образом, мы видим, что интеграл ∫(ln(x) / x) dx сходится.

Поскольку f(x) = ln(x^2 + 1) / x ≤ g(x) = ln(x) / x для всех x ≥ 1, и ∫g(x) dx сходится, мы можем заключить, что несобственный интеграл ∫ln(x^2 + 1)/x dx от 1 до бесконечности также сходится.