Question

Упростите выражение (√x^3-1)(x^3+√x^3+1)-x^4√x 

Answer 1

Давайте упростим данное выражение по шагам.

Имеем выражение: \((\sqrt{x^3 - 1})(x^3 + \sqrt{x^3} + 1) - x^4\sqrt{x}\).

1. Раскроем скобки внутри первого слагаемого: \[ \sqrt{x^3 - 1} \cdot (x^3 + \sqrt{x^3} + 1) = x^3\sqrt{x^3 - 1} + (\sqrt{x^3 - 1})\sqrt{x^3} + \sqrt{x^3 - 1}. \]

2. Упростим второе слагаемое: \[ (\sqrt{x^3 - 1})\sqrt{x^3} = \sqrt{x^3(x^3 - 1)} = \sqrt{x^6 - x^3}. \]

3. Теперь подставим результаты в исходное выражение: \[ x^3\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^6 - x^3} + \sqrt{x^3 - 1} - x^4\sqrt{x}. \]

4. Рассмотрим третье слагаемое \(\sqrt{x^3 - 1}\) и вынесем общий множитель: \[ x^3\sqrt{x^3 - 1} + \sqrt{x^6 - x^3} + \sqrt{x^3 - 1} - x^4\sqrt{x} = \sqrt{x^3 - 1}(x^3 + 1) + \sqrt{x^6 - x^3} - x^4\sqrt{x}. \]

5. Теперь упростим второе слагаемое \(\sqrt{x^6 - x^3}\): \[ \sqrt{x^6 - x^3} = \sqrt{x^3(x^3 - 1)} = \sqrt{x^3}\sqrt{x^3 - 1} = x\sqrt{x^3 - 1}. \]

6. Подставим это обратно в выражение: \[ \sqrt{x^3 - 1}(x^3 + 1) + x\sqrt{x^3 - 1} - x^4\sqrt{x}. \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\sqrt{x^3 - 1}(x^3 + 1) + x\sqrt{x^3 - 1} - x^4\sqrt{x}\).