Question

А(2; 2), В(1,5; 3,5) и С(-2; 4) ABC треугольник найдите cos B

Answer 1

Для того чтобы найти косинус угла B в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема гласит:

\[ \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Где \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, противолежащих углам \( A, B, C \) соответственно.

Для начала, нужно вычислить длины сторон треугольника ABC, используя координаты точек.

Для стороны AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] \[ AB = \sqrt{(1.5 - 2)^2 + (3.5 - 2)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-0.5)^2 + (1.5)^2} \] \[ AB = \sqrt{0.25 + 2.25} \] \[ AB = \sqrt{2.5} \]

Для стороны BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \] \[ BC = \sqrt{(-2 - 1.5)^2 + (4 - 3.5)^2} \] \[ BC = \sqrt{(-3.5)^2 + (0.5)^2} \] \[ BC = \sqrt{12.25 + 0.25} \] \[ BC = \sqrt{12.5} \]

Для стороны AC: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \] \[ AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (4 - 2)^2} \] \[ AC = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2} \] \[ AC = \sqrt{16 + 4} \] \[ AC = \sqrt{20} \]

Теперь, подставим найденные значения в формулу косинуса:

\[ \cos(B) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} \] \[ \cos(B) = \frac{(\sqrt{2.5})^2 + (\sqrt{20})^2 - (\sqrt{12.5})^2}{2 \times \sqrt{2.5} \times \sqrt{20}} \] \[ \cos(B) = \frac{2.5 + 20 - 12.5}{2 \times \sqrt{2.5} \times \sqrt{20}} \] \[ \cos(B) = \frac{10}{2 \times \sqrt{2.5} \times \sqrt{20}} \] \[ \cos(B) = \frac{10}{2 \times \sqrt{50}} \] \[ \cos(B) = \frac{10}{2 \times 5 \times \sqrt{2}} \] \[ \cos(B) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, \(\cos(B) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).