Question

Помогите пожалуйста !!!! срочно нужно !!!! до конца урока 30 мин 1) первый член бесконечной геометрической прогрессии равен 2 . найти знаменатель прогрессии, если её сумма равна 5 . 2) решите уравнение 2sinx sin2x=1-cos3x

Answer 1

Давайте решим поставленные задачи.

Задача 1:

Для геометрической прогрессии с первым членом \(a_1\) и знаменателем \(q\) сумма всех ее членов выражается формулой:

\[ S = \frac{a_1}{1 - q} \]

В данной задаче нам известно, что первый член \(a_1\) равен 2, а сумма \(S\) равна 5. Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно знаменателя \(q\):

\[ 5 = \frac{2}{1 - q} \]

Умножим обе стороны на \(1 - q\):

\[ 5(1 - q) = 2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 5 - 5q = 2 \]

\[ -5q = 2 - 5 \]

\[ -5q = -3 \]

\[ q = \frac{3}{5} \]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен \(\frac{3}{5}\).

Задача 2:

Уравнение, данное во второй задаче:

\[ 2\sin(x) \sin(2x) = 1 - \cos(3x) \]

Приведем все члены уравнения к виду, содержащему только синусы и косинусы:

\[ 2\sin(x) \cdot 2\sin(x)\cos(x) = 1 - (4\cos^3(x) - 3\cos(x)) \]

\[ 4\sin(x)\cos(x) = 3\cos(x) - 4\cos^3(x) + 3 \]

Теперь приведем подобные члены и упростим уравнение:

\[ 4\sin(x)\cos(x) = -4\cos^3(x) + 3\cos(x) + 3 \]

\[ 4\sin(x)\cos(x) + 4\cos^3(x) - 3\cos(x) - 3 = 0 \]

Теперь факторизуем уравнение. Обратите внимание, что можно вынести общий множитель:

\[ (4\cos(x) - 3)(\sin(x) + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два уравнения:

1. \(4\cos(x) - 3 = 0\) 2. \(\sin(x) + 1 = 0\)

Решение первого уравнения:

\[ 4\cos(x) - 3 = 0 \]

\[ 4\cos(x) = 3 \]

\[ \cos(x) = \frac{3}{4} \]

Это уравнение имеет решения в виде \(x = \cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\) и \(x = -\cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\).

Решение второго уравнения:

\[ \sin(x) + 1 = 0 \]

\[ \sin(x) = -1 \]

Это уравнение имеет решение в виде \(x = -\frac{\pi}{2}\).

Таким образом, общее решение уравнения \(2\sin(x) \sin(2x) = 1 - \cos(3x)\) состоит из трех частей:

1. \(x = \cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\) 2. \(x = -\cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\) 3. \(x = -\frac{\pi}{2}\)