Question

Log3((x+2)(x+4))+log1/3(x+2)<1/2 log√37

Answer 1

Для решения данного неравенства с логарифмами, давайте применим свойства логарифмов. У нас есть неравенство:

\[ \log_3((x+2)(x+4)) + \log_{1/3}(x+2) < \frac{1}{2} + \log_{\sqrt{37}}. \]

Первым шагом объединим логарифмы с одинаковыми основаниями. Мы можем использовать следующие свойства логарифмов:

1. \(\log_a(m) + \log_a(n) = \log_a(mn)\) 2. \(\log_a(m) - \log_a(n) = \log_a\left(\frac{m}{n}\right)\)

Применяя эти свойства, мы можем объединить логарифмы:

\[ \log_3((x+2)(x+4)) + \log_{1/3}(x+2) = \log_3((x+2)(x+4) \cdot 3^{2}) \]

Теперь наше неравенство принимает вид:

\[ \log_3((x+2)(x+4) \cdot 3^{2}) < \frac{1}{2} + \log_{\sqrt{37}}. \]

Далее преобразим правую часть, используя свойство логарифма:

\[ \frac{1}{2} + \log_{\sqrt{37}} = \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37}\right) + \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37}\right)^{\frac{1}{2}} \]

\[ = \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37} \cdot \sqrt{37}^{\frac{1}{2}}\right) \]

\[ = \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37} \cdot \sqrt{\sqrt{37}}\right) \]

\[ = \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37^{\frac{3}{2}}}\right) \]

\[ = \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37^3}\right). \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ \log_3((x+2)(x+4) \cdot 3^{2}) < \log_{\sqrt{37}}\left(\sqrt{37^3}\right). \]

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, можно просто сравнить аргументы под логарифмами. Так как оба логарифма имеют разные основания, давайте приведем их к общему основанию, например, к основанию 10:

\[ \frac{\log_{10}((x+2)(x+4) \cdot 3^{2})}{\log_{10}(3)} < \frac{\log_{10}\left(\sqrt{37^3}\right)}{\log_{10}(\sqrt{37})}. \]

Теперь можем упростить выражение, умножив обе стороны на \(\log_{10}(3)\):

\[ \log_{10}((x+2)(x+4) \cdot 3^{2}) < \frac{\log_{10}\left(\sqrt{37^3}\right)}{\log_{10}(\sqrt{37})} \cdot \log_{10}(3). \]

Теперь выражение под логарифмами можно упростить:

\[ \log_{10}((x+2)(x+4) \cdot 3^{2}) < \frac{\log_{10}\left(\sqrt{37^3}\right) \cdot \log_{10}(3)}{\log_{10}(\sqrt{37})}. \]

Теперь мы можем избавиться от логарифмов, возводя обе стороны уравнения в 10:

\[ (x+2)(x+4) \cdot 3^{2} < 10^{\frac{\log_{10}\left(\sqrt{37^3}\right) \cdot \log_{10}(3)}{\log_{10}(\sqrt{37})}}. \]

\[ (x+2)(x+4) \cdot 9 < 10^{\frac{\log_{10}\left(\sqrt{37^3}\right) \cdot \log_{10}(3)}{\log_{10}(\sqrt{37})}}. \]

Теперь можем решить это неравенство численно или оставить ответ в виде выражения с логарифмами, в зависимости от требований задачи.