Question

Доказать, что: (х^2+у^2+z^2)^2=2(x^4+y^4+z^4) , если x+y+z=0.

Answer 1

Возведем обе части равенства x + y + z = 0 в квадрат. Получим (x + y + z)² = 0 => (x + y)² + 2(x + y)z + z² = 0 => x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z² = 0 => x² + y² + z² = -2(xy + xz + yz). Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Получим (x² + y² + z²)² = 4(xy + xz + yz)² = 4((xy + xz)² + 2(xy + xz)yz + y²z²) = 4(x²y² + 2x²yz + x²z² + 2y²xz + 2z²xy + y²z²) = 4(x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz(x + y + z)) = 4(x²y² + x²z² + y²z²), т. к. x + y + z = 0. С другой стороны (x² + y² + z²)² = ((x² + y²)² + 2(x² + y²)z² + z⁴) = x⁴ + 2x²y² + y⁴ + 2x²z² + 2y²z² + z⁴ = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²). Тогда (x² + y² + z²)² = 4(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) => x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x²y² + x²z² + y²z²). Отсюда получаем требуемое равенство (x² + y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x⁴ + y⁴ + z⁴).

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[ (x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + z^4) \]

И условие:

\[ x + y + z = 0 \]

Мы можем воспользоваться данной информацией, чтобы выразить, например, \( z \) через \( x \) и \( y \) из условия \( x + y + z = 0 \). Из этого уравнения следует, что \( z = -x - y \).

Теперь подставим это выражение для \( z \) в уравнение \( (x^2 + y^2 + z^2)^2 \):

\[ (x^2 + y^2 + (-x - y)^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + (-x - y)^4) \]

Упростим это уравнение.

\[ (x^2 + y^2 + (x + y)^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + (x + y)^4) \]

Раскроем скобки:

\[ (x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4) \]

\[ (2x^2 + 2y^2 + 2xy)^2 = 2(2x^4 + 2y^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3) \]

Упростим дальше:

\[ 4(x^2 + y^2 + xy)^2 = 4(x^4 + y^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3) \]

\[ x^2 + y^2 + xy = x^4 + y^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 \]

Теперь воспользуемся условием \( x + y + z = 0 \), которое в данном случае означает \( x + y - x - y = 0 \), что равно \( 0 = 0 \). Это подтверждает верность выведенного уравнения.

Таким образом, уравнение \( (x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2(x^4 + y^4 + z^4) \) верно при условии \( x + y + z = 0 \).