Question

Вычислите по формуле бинома Ньютона: 1.(√5+√2)^4 2.(√6+√2)^4 3.(√6-√2)^5 4.(√10-√2)^5

Answer 1

Ответ:

1)89 + 28 \sqrt{10}

2)112 + 64 \sqrt{3}

3)176 \sqrt{6}  - 304 \sqrt{2}

4)320 \sqrt{10}  - 704 \sqrt{2}

Объяснение:

Answer 2

Объяснение:

Формула бинома Ньютона:

(а+b)^n=C(n,0)•a^n •b^0 +C(n,1)•a^(n-1) •b^1 +C(n,2)•a^(n-2) •b^2+...+C(n,n)•a^0 •b^n

(√5 +√2)^4=1•√5^4 •√2^0 +4•√5^3 •√2^1 +6•√5^2 •√2^2 +4•√5^1 •√2^3 +1•√5^0 •√2^4=25+20√10 +60+8√10 +4=89+28√10

(√6 +√2)^4=1•√6^4 •√2^0 +4•√6^3 •√2^1 +6•√6^2 •√2^2 +4•√6^1 •√2^3 +1•√6^0 •√2^4=36+24√12 +72+8√12 +4=112+32√12=112+64√3

(√6 -√2)^5=1•√6^5 •√2^0 -5•√6^4 •√2^1 +10•√6^3 •√2^2 -10•√6^2 •√2^3 +5•√6^1 •√2^4 -1•√6^0 •√2^5=36√6 -180√2 +120√6 -120√2 +20√6 -4√2=176√6 -304√2

(√10 -√2)^5=1•√10^5 •√2^0 -5•√10^4 •√2^1 +10•√10^3 •√2^2 -10•√10^2 •√2^3 +5•√10^1 •√2^4 -1•√10^0 •√2^5=100√10 -500√2 +200√10 -200√2 +20√10 -4√2=320√10 -704√2

Answer 3

1. Чтобы вычислить выражение (√5+√2)^4, мы мож

Answer 4

Давайте рассмотрим каждое из выражений по формуле бинома Ньютона:

1. \((\sqrt{5} + \sqrt{2})^4\)

Формула бинома Ньютона для степени 4 выглядит следующим образом:

\((a + b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 + \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 + \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4\)

Применяем это к нашему выражению:

\((\sqrt{5} + \sqrt{2})^4 = \binom{4}{0}(\sqrt{5})^4(\sqrt{2})^0 + \binom{4}{1}(\sqrt{5})^3(\sqrt{2})^1 + \binom{4}{2}(\sqrt{5})^2(\sqrt{2})^2 + \binom{4}{3}(\sqrt{5})^1(\sqrt{2})^3 + \binom{4}{4}(\sqrt{5})^0(\sqrt{2})^4\)

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

\(\binom{4}{0} = 1, \binom{4}{1} = 4, \binom{4}{2} = 6, \binom{4}{3} = 4, \binom{4}{4} = 1\)

Подставляем значения:

\(1(\sqrt{5})^4(\sqrt{2})^0 + 4(\sqrt{5})^3(\sqrt{2})^1 + 6(\sqrt{5})^2(\sqrt{2})^2 + 4(\sqrt{5})^1(\sqrt{2})^3 + 1(\sqrt{5})^0(\sqrt{2})^4\)

Упрощаем:

\(1 \cdot 5 \cdot 1 + 4 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot 2 \cdot 2 + 4 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot 1 \cdot 4\)

\(5 + 20\sqrt{2} + 24 + 8\sqrt{10} + 4\)

\(29 + 20\sqrt{2} + 8\sqrt{10}\)

2. \((\sqrt{6} + \sqrt{2})^4\)

Повторяем тот же процесс, применяя формулу бинома Ньютона:

\((\sqrt{6} + \sqrt{2})^4 = \binom{4}{0}(\sqrt{6})^4(\sqrt{2})^0 + \binom{4}{1}(\sqrt{6})^3(\sqrt{2})^1 + \binom{4}{2}(\sqrt{6})^2(\sqrt{2})^2 + \binom{4}{3}(\sqrt{6})^1(\sqrt{2})^3 + \binom{4}{4}(\sqrt{6})^0(\sqrt{2})^4\)

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

\(\binom{4}{0} = 1, \binom{4}{1} = 4, \binom{4}{2} = 6, \binом{4}{3} = 4, \binom{4}{4} = 1\)

Подставляем значения:

\(1(\sqrt{6})^4(\sqrt{2})^0 + 4(\sqrt{6})^3(\sqrt{2})^1 + 6(\sqrt{6})^2(\sqrt{2})^2 + 4(\sqrt{6})^1(\sqrt{2})^3 + 1(\sqrt{6})^0(\sqrt{2})^4\)

Упрощаем:

\(1 \cdot 36 \cdot 1 + 4 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot 2 \cdot 2 + 4 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot 1 \cdot 4\)

\(36 + 24\sqrt{2} + 24 + 8\sqrt{6} + 4\)

\(64 + 24\sqrt{2} + 8\sqrt{6}\)

3. \((\sqrt{6} - \sqrt{2})^5\)

Аналогично:

\((\sqrt{6} - \sqrt{2})^5 = \binom{5}{0}(\sqrt{6})^5(\sqrt{2})^0 - \binom{5}{1}(\sqrt{6})^4(\sqrt{2})^1 + \binom{5}{2}(\sqrt{6})^3(\sqrt{2})^2 - \binom{5}{3}(\sqrt{6})^2(\sqrt{2})^3 + \binom{5}{4}(\sqrt{6})^1(\sqrt{2})^4 - \binom{5}{5}(\sqrt{6})^0(\sqrt{2})^5\)

Вычисляем биномиальные коэффициенты:

\(\binom{5}{0} = 1, \binom{5}{1} = -5, \binom{5}{2} = 10, \binom{5}{3} = -10, \binom{5}{4} = 5, \binom{5}{5} = -1\)

Подставляем значения:

\(1(\sqrt{6})^5(\sqrt{2})^0 - 5(\sqrt{6})^4(\sqrt{2})^1 + 10(\sqrt{6})^3(\sqrt{2})^2 - 10(\sqrt{6})^2(\sqrt{2})^3 + 5(\sqrt{6})^1(\sqrt{2})^4 - 1(\sqrt{6})^0(\sqrt{2})^5\)

Упрощаем:

\(1 \cdot 6 \cdot 1 - 5 \cdot 36 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 216 \cdot 2 - 10 \cdot 72 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt