Question

(3x^2 + 10x +3)(x^2 + 3x + 4) <=0

Answer 1

(3x² + 10x +3)(x² + 3x + 4) ≤0

Находим нули функции:
$(3x^2 + 10x +3)(x^2 + 3x + 4) =0 \\ \\ \left \{ {{3x^2+10x+3=0} \atop {x^2 + 3x + 4=0}} \right. \\ \\ \\ 3x^2+10x+3=0 \\ D=10^2-4*3*3=100-36=64 \\ x_1= \frac{-10- \sqrt{64} }{2*3} = \frac{-10-8}{6} = \frac{-18}{6} =-3 \\ x_2=\frac{-10+\sqrt{64} }{2*3} = \frac{-10+8}{6} = \frac{-2}{6} =- \frac{1}{3} \approx-0.3. \\ \\ x^2+3x+4=0 \\ D=3^2-4*1*4=9-16=-7\ \textless \ 0$
Поскольку во втором уравнении дискриминант меньше нуля, то есть уравнение не имеет решений, то нулями функции будут только решения первого уравнения
$\left \{ {{x_1=-3} \atop {x_2= -\frac{1}{3} }} \right.$

Обозначаем нули на ОДЗ и находим знак функции f (x) в каждом промежутке, на которые разбиваем ОДЗ
(Для того чтобы найти знак мы берем любое число, которое принадлежит данном промежутке, например на промежутке [-3; -0.333] можно взять число -1, и подставляем его в неравенство вместо х и тогда  высчитываем, если получается отрицательное число, то ставим знак минус, а если положительное, то плюс)
__+___-3___-__-0.333___+_>x

Так как по условию нужно найти числа, которые меньше  равны нуля, то промежутки имеющих знак минус и являются ответом для неравенства.
Поскольку стоит знак именно меньше или равно нулю, а не просто меньше, то это означает, что число включается в промежуток, на котором он определяется, а значит мы используем квадратные скобки [   ;   ], если бы знак был просто меньше, то использовались бы круглые скобки (   ;   )

Ответ: $x\in [-3; ~~- \frac{1}{3}]$

Answer 2

Что не понятно пиши.....

Answer 3

Чтобы решить неравенство \((3x^2 + 10x + 3)(x^2 + 3x + 4) \leq 0\), мы можем разбить его на отдельные множители и определить знак каждого множителя для различных интервалов значений \(x\).

Итак, у нас есть два множителя: \(3x^2 + 10x + 3\) и \(x^2 + 3x + 4\). Давайте найдем корни каждого множителя, так как они будут определять точки разрыва.

Поиск корней первого множителя \(3x^2 + 10x + 3\):

Используем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = 10\), и \(c = 3\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} \]

\[ x = \frac{-10 \pm 8}{6} \]

Таким образом, корни первого множителя: \(x = -2\) и \(x = -\frac{1}{3}\).

Поиск корней второго множителя \(x^2 + 3x + 4\):

Используем квадратное уравнение, где \(a = 1\), \(b = 3\), и \(c = 4\):

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2} \]

Поскольку дискриминант отрицателен (\(-7\)), у уравнения \(x^2 + 3x + 4\) нет действительных корней. Однако мы можем использовать комплексные числа для выражения корней.

Анализ знаков:

Теперь мы можем проанализировать знаки множителей на каждом интервале между найденными корнями.

1. Интервал между \(-\infty\) и \(-2\): - \(3x^2 + 10x + 3 > 0\) (парабола вверх, так как \(a = 3\)) - \(x^2 + 3x + 4 > 0\) (комплексные корни, поэтому знаки не меняются)

Таким образом, на этом интервале оба множителя положительны.

2. Интервал между \(-2\) и \(-\frac{1}{3}\): - \(3x^2 + 10x + 3 < 0\) (меняет знак после \(-2\)) - \(x^2 + 3x + 4 > 0\) (комплексные корни)

Произведение множителей отрицательно на этом интервале.

3. Интервал между \(-\frac{1}{3}\) и \(\infty\): - \(3x^2 + 10x + 3 > 0\) - \(x^2 + 3x + 4 > 0\) (комплексные корни)

На этом интервале произведение множителей снова положительно.

Итоговый ответ:

Таким образом, неравенство \((3x^2 + 10x + 3)(x^2 + 3x + 4) \leq 0\) выполняется на интервалах \([-2, -\frac{1}{3}]\).