Question

Помогите решить систему пожалуйста 2^x-9*3^y=7 ; 2^x*3^y=8/9

Answer 1

второе уравнение: выразим 2^x=8/(9*3^y)

подставим в первое. заменим 3^y на t;

получим: 81t^2+63t-8=0;

корни уравнения; t=-72/81;

t= 1/27;

нас интересует t>0;

3^y=1/27;

y=-3;

тогда х = 3

Answer 2

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x-9\cdot3^y=7\\ 2^x\cdot3^y=\frac{8}{9} \end{cases}$

Для решения данной системы можно воспользоваться методом подстановки.

Из второго уравнения системы можно выразить $2^x$:

$2^x = \frac{\frac{8}{9}}{3^y}$

Подставим это значение в первое уравнение:

$\frac{\frac{8}{9}}{3^y} -9\cdot3^y = 7$

Переведем все дроби в общий знаменатель:

$\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{3^y} - 9\cdot3^y = 7$

$\frac{8}{9\cdot3^y} - 9\cdot3^y = 7$

Умножим оба выражения на $9\cdot3^y$, чтобы избавиться от знаменателей:

$8 - 9\cdot3^{2y} = 7\cdot9\cdot3^y$

$8 - 9\cdot9^y = 7\cdot3^y\cdot9$

Теперь мы имеем уравнение, содержащее только одно неизвестное $y$. Решим его:

$-9\cdot9^y = 7\cdot3^y\cdot9 - 8$

$-9^y = 7\cdot3^y - \frac{8}{9}$

$-9^y = \frac{7\cdot3^y\cdot9 - 8}{9}$

$9^y = \frac{8 - 7\cdot3^y\cdot9}{9}$

$9^y = \frac{8 - 63^y}{9}$

$9^y = \frac{8}{9} - 7^y$

Видим, что возведение в степень содержит неизвестное $y$ и найти его точное значение аналитически сложно.

Предлагаю рассмотреть численное решение. Заменим $y$ на некоторое значение и найдем с помощью калькулятора или программы значение, близкое к точному.

Пример:

Пусть $y=1$. Подставляем это значение в последнее уравнение:

$9^1 = \frac{8}{9} - 7^1$

$9 = \frac{8}{9} - 7$

$9 = \frac{8}{9} - \frac{63}{9}$

$9 = \frac{-55}{9}$

Уравнение не выполняется.

Попробуем другое значение.

Пусть $y=2$. Подставляем это значение в последнее уравнение:

$9^2 = \frac{8}{9} - 7^2$

$81 = \frac{8}{9} - 49$

$81 = \frac{8}{9} - \frac{441}{9}$

$81 = \frac{-433}{9}$

Уравнение снова не выполняется.

Мы можем продолжать подбирать значения для $y$ и проверять выполнение уравнения, однако пока я не вижу такого значения, которое бы удовлетворяло системе уравнений.

Возможно, в условии была допущена ошибка, или система не имеет решений в действительных числах.