Question

Найдете сумму корней уравнения Cos2x+1=0,принадлежащих промежутку ( -3п;4п/3)

Answer 1

$cos(2x)=-1$
$2x= \pi +2 \pi k$
$x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z

Выберем корни из указанного интервала:
$-3 \pi \ \textless \ \frac{ \pi }{2}+ \pi k\ \textless \ \frac{4 \pi }{3}$
$-3\ \textless \ \frac{1}{2}+k\ \textless \ \frac{4}{3}$
$-3.5\ \textless \ k\ \textless \ \frac{5}{6}$, k∈Z
$k=-3;-2;-1;0$

Найдем эти корни:
k=-3, $x= \frac{ \pi }{2}-3 \pi=\frac{ \pi-6 \pi }{2}=-\frac{5 \pi }{2}$
k=-2, $x= \frac{ \pi }{2}-2 \pi=\frac{ \pi-4 \pi }{2}=-\frac{3 \pi }{2}$
k=-1, $x= \frac{ \pi }{2}- \pi=\frac{ \pi-2 \pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$
k=0, $x= \frac{ \pi }{2}$

Сумма корней уравнения из указанного промежутка равна:
$-\frac{5 \pi }{2}-\frac{3 \pi }{2}-\frac{ \pi }{2}+\frac{\pi }{2}=-4 \pi$

Ответ: -4pi

Answer 2

Для начала, найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению cos^2x + 1 = 0.

cos^2x + 1 = 0 cos^2x = -1

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет решений.

Следовательно, сумма корней уравнения cos^2x + 1 = 0, принадлежащих промежутку (-3π; 4π/3), равна 0.

Answer 3

Давайте решим уравнение \(\cos(2x) + 1 = 0\) на интервале \((-3\pi, \frac{4\pi}{3})\).

1. Найдем корни уравнения: \[ \cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -1 \]

Знаем, что \(\cos(\pi) = -1\), следовательно, \(2x\) должно быть равно \(\pi\), \(\pi + 2\pi\), \(\pi + 4\pi\), и так далее. Общее выражение для корней будет:

\[ 2x = \pi + 2k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Ограничим интервал: Теперь, учитывая, что \(x\) принадлежит интервалу \((-3\pi, \frac{4\pi}{3})\), найдем значения \(k\), которые соответствуют этим пределам:

\[ -3\pi < \frac{\pi + 2k\pi}{2} < \frac{4\pi}{3} \]

Упростим это неравенство:

\[ -6\pi < \pi + 2k\pi < \frac{8\pi}{3} \]

Решая его, получаем:

\[ -7 < k < \frac{1}{2} \]

3. Подставим значения \(k\) в общее выражение для корней:

\[ 2x = \pi + 2k\pi, \quad \text{где} \quad -7 < k < \frac{1}{2} \]

Таким образом, корни уравнения будут:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad \text{где} \quad -\frac{7}{2} < k < \frac{1}{4} \]

4. Оставим только те значения \(x\), которые принадлежат интервалу \((-3\pi, \frac{4\pi}{3})\):

\[ \frac{\pi}{2} - 2\pi < x < \frac{\pi}{2} \]

Таким образом, корни уравнения на интервале \((-3\pi, \frac{4\pi}{3})\) будут:

\[ -\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \]

Это и есть искомый интервал для корней уравнения \(\cos(2x) + 1 = 0\).