Question

Вычислите производную:y= 10x^4-3x^2 / (3x^2 - 1) ^2

Answer 1

$f(x)=10 x^{4}-3 x^{2}; \ \ f'(x)=40 x^{3} -6x;\\ g(x)= (3x^{2} -1)^{2}= 9x^{4}-6 x^{2} +1; \ \ g'(x)=36 x^{3} -12x;\\ y= \frac{f(x)}{g(x)}; \\ y'= \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^{2}(x)}= \frac{(40x^{3}-6x)(3x^{2}-1)^{2}-(10x^{4}-3x^{2})(36x^{3}-12x)}{(3x^2-1)^{4}}$
Дальше раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и на что-нибудь сократить, надеюсь, с этим проблем не будет!

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \). Для удобства воспользуемся правилами дифференцирования.

У нас есть функция:

\[ y = \frac{{10x^4 - 3x^2}}{{(3x^2 - 1)^2}} \]

Разделим эту функцию на две части: числитель и знаменатель. Затем применим правила дифференцирования.

1. Найдем производную числителя \( f(x) = 10x^4 - 3x^2 \): - Для термов вида \( ax^n \), производная равна \( anx^{(n-1)} \). - Производная члена \( 10x^4 \) равна \( 40x^3 \). - Производная члена \( -3x^2 \) равна \( -6x \). Таким образом, производная числителя \( f'(x) = 40x^3 - 6x \).

2. Найдем производную знаменателя \( g(x) = (3x^2 - 1)^2 \): - Применим цепное правило: если у нас есть функция \( h(x) = (u(x))^n \), то ее производная равна \( n \cdot (u(x))^{(n-1)} \cdot u'(x) \). - Пусть \( u(x) = 3x^2 - 1 \). Тогда \( u'(x) = 6x \). - Производная знаменателя \( g'(x) = 2 \cdot (3x^2 - 1)^1 \cdot 6x = 12x \cdot (3x^2 - 1) \).

Теперь воспользуемся формулой для производной частного функций:

\[ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \]

Подставим найденные значения:

\[ y' = \frac{(40x^3 - 6x) \cdot (3x^2 - 1)^2 - (10x^4 - 3x^2) \cdot 12x \cdot (3x^2 - 1)}{(3x^2 - 1)^4} \]

Далее можно упростить эту формулу, раскрыв скобки, и упростить выражение.