Question

Решите уравнение 4cos^4x-3cos2x-1=0

Answer 1

Понижаем степень косинуса через двойной аргумент:
$4*(\frac{1+cos2x}{2})^2-3cos2x-1=0 \\ 1+2cos2x+cos^22x-3cos2x-1=0 \\ cos^22x-cos2x=0 \\ cos2x(cos2x-1)=0$
$cos2x=0$ или $cos2x= \frac{1}{2}$
$2x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$ или $2x=\pm \frac{ \pi }{3}+ 2\pi k$
$x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi k}{2}$ или $x=\pm \frac{ \pi }{6}+ \pi k$
Ответ: $\frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi k}{2} ,$ $\pm \frac{ \pi }{6}+ \pi k,\ k \in Z$

Answer 2

Конечно, я помогу с решением этого уравнения. Давайте разберемся.

У нас есть уравнение: \(4\cos^4(x) - 3\cos(2x) - 1 = 0\).

Для начала заметим, что \(\cos(2x)\) можно выразить через косинус \(x\):

\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\).

Теперь заменим \(\cos(2x)\) в уравнении:

\(4\cos^4(x) - 3(2\cos^2(x) - 1) - 1 = 0\).

Распишем это уравнение:

\(4\cos^4(x) - 6\cos^2(x) + 2 = 0\).

Обозначим \(\cos^2(x) = y\). Тогда у нас получится квадратное уравнение относительно \(y\):

\(4y^2 - 6y + 2 = 0\).

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 36 - 32 = 4\).

Так как \(D > 0\), у нас два корня:

\(y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm 2}{8}\).

Итак, \(y_1 = \frac{8}{8} = 1\) и \(y_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

Теперь вернемся к обозначению \(y = \cos^2(x)\):

\(\cos^2(x) = 1\) и \(\cos^2(x) = \frac{1}{2}\).

Теперь найдем значения \(x\) для каждого из этих случаев:

1. \(\cos^2(x) = 1\). Это означает, что \(\cos(x) = \pm 1\). Так как квадрат косинуса неотрицателен, то \(\cos(x) = 1\) или \(\cos(x) = -1\). Это соответствует \(x = 0 + 2\pi k\) или \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

2. \(\cos^2(x) = \frac{1}{2}\). Это означает, что \(\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\). Это соответствует \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, решения уравнения \(4\cos^4(x) - 3\cos(2x) - 1 = 0\) для \(x\) будут \(x = 0 + 2\pi k\), \(x = \pi + 2\pi k\), \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.