Question

решить систему x^4+6x^2y^2+y^4=136 И x^3y+xy^3=30

Answer 1

Решение в нижеприведенном вложении

Answer 2

Дана система уравнений:

1) $x^4 + 6x^2y^2 + y^4 = 136$ 2) $x^3y + xy^3 = 30$

Давайте решим эту систему шаг за шагом.

Шаг 1: Используем замену переменных

Для удобства решения, введем новые переменные: $u = x^2$ и $v = y^2$. Тогда первое уравнение примет вид: $u^2 + 6uv + v^2 = 136$, и второе уравнение примет вид: $u^2v + uv^2 = 30$.

Шаг 2: Решим систему уравнений в новых переменных

Решим второе уравнение относительно $v$: $u^2v + uv^2 = 30 \implies uv(u+v) = 30$

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 0$ или $v = 0$

Если $u = 0$, то из уравнения $uv(u+v) = 30$ следует, что $v = 0$. Аналогично, если $v = 0$, то $u = 0$. Таким образом, одно из решений - это $(x, y) = (0, 0)$.

Случай 2: $u \neq 0$ и $v \neq 0$

Исключим $v$ из первого уравнения, подставив вместо него значение из второго уравнения: $u^2 + 6uv + v^2 = 136 \implies u^2 + 6u \cdot \frac{30}{uv} + \left(\frac{30}{uv}\right)^2 = 136$

Упростим это уравнение: $u^2 + \frac{180}{u} + \frac{900}{u^2} = 136 \implies u^4 - 136u^2 + 180u + 900 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $u^2$. Решим его и найдем значения $u^2$.

Шаг 3: Найдем значения $u^2$

Решение этого квадратного уравнения может быть найдено с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений или с использованием встроенных функций в математических пакетах, таких как Python или MATLAB. Предположим, что мы нашли два значения $u_1^2$ и $u_2^2$.

Шаг 4: Найдем значения $u$ и $v$

Теперь, зная значения $u^2$, мы можем найти значения $u$ и $v$. Для каждого значения $u^2$ найдем соответствующие значения $u$ и $v$ с использованием следующих уравнений:

$u = \pm \sqrt{u^2}$ и $v = \frac{30}{u(u + v)}$

Шаг 5: Найдем значения $x$ и $y$

Наконец, найдем значения $x$ и $y$ с использованием следующих уравнений:

$x = \pm \sqrt{u}$ и $y = \pm \sqrt{v}$

Таким образом, мы можем получить четыре набора решений для данной системы уравнений.

Обратите внимание, что значения $u^2$, $u$, $v$, $x$ и $y$ могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому мы получим все возможные комбинации решений.