Question

Объясните, как решать дробные неравенства. Что в них особенного? 12 / x^2 - 7x - 8 <= 0 -12 / (x-1)^2 - 2 >= 0 И эти (x-4)^2 < (корень из 3) (x-4) (3x-7)^2 >= (7x-3)^2 И это x^4 = (x-20)^2

Answer 1

Особенное в них --- наличие дроби (знаменатель не может равняться нулю)))
первые два у Вас написаны не понятно --- знаменатель (при записи дроби в строку))) нужно брать в скобки --- иначе не понятно, ГДЕ знаменатель заканчивается...
12 / (x^2 - 7x - 8) <= 0 -----??? если дробь выглядит так, то
12 / ((x-8)(x+1)) <= 0
-------------------------------особенности: эта дробь не может быть = 0)))
чтобы дробь была отрицательна (при положительном знаменателе))),
знаменатель должен быть отрицательным...
(-1; 8) парабола, ветви вверх --- решение между корнями
(x-4)^2 < √3 * (x-4)
(x-4)^2 - √3 * (x-4) < 0
(x-4) * (x-4 - √3) < 0
парабола, ветви вверх --- решение между корнями: (4; 4+√3)
------------------особенности: нельзя сокращать на выражение, содержащее неизвестное (т.е. на скобку (х-4)))))
(3x-7)^2 >= (7x-3)^2
(3x-7)^2 - (7x-3)^2 >= 0
(3x-7 - 7x+3)(3x-7 + 7x-3) >= 0
(-4x-4)(10x-10) >= 0
-4*10*(x+1)(x-1) >= 0
(x+1)(x-1) <= 0
[-1; 1] парабола, ветви вверх --- решение между корнями
x^4 = (x-20)^2
x^4 - (x-20)^2 = 0
(x^2 - x + 20)(x^2 + x-20) = 0

Answer 2

Дробные неравенства, такие как эти, включают в себя дробные выражения, которые содержат переменные в числителе или знаменателе дроби. Чтобы решить такие неравенства, нужно выполнить несколько шагов.

Давайте начнем с первого неравенства:

\[ \frac{12}{x^2 - 7x - 8} \leq 0 \]

1. Нахождение точек разрыва и особых точек: Начнем с определения точек разрыва. В данном случае знаменатель не должен быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль. Решим уравнение в знаменателе: \(x^2 - 7x - 8 = 0\). Получаем корни: \(x = -1\) и \(x = 8\). Эти значения образуют точки разрыва.

2. Нахождение интервалов: Теперь давайте разделим область числовой прямой на интервалы с использованием точек разрыва (-1, 8) и выберем тестовую точку в каждом интервале для проверки знака выражения.

3. Проверка знака на каждом интервале: - В интервале \((- \infty, -1)\) выберем \(x = -2\) (любое число меньше -1). Подставим в исходное неравенство: \(\frac{12}{(-2)^2 - 7(-2) - 8} = \frac{12}{4 + 14 - 8} = \frac{12}{10} > 0\). Неравенство не выполняется. - В интервале \((-1, 8)\) выберем \(x = 0\) (любое число между -1 и 8). Подставим в исходное неравенство: \(\frac{12}{0^2 - 7(0) - 8} = \frac{12}{-8} < 0\). Неравенство выполняется. - В интервале \((8, +\infty)\) выберем \(x = 9\) (любое число больше 8). Подставим в исходное неравенство: \(\frac{12}{9^2 - 7(9) - 8} = \frac{12}{81 - 63 - 8} = \frac{12}{10} > 0\). Неравенство не выполняется.

Таким образом, решение первого неравенства: \(x \in (-1, 8)\).

Теперь к второму неравенству:

\[ -\frac{12}{(x-1)^2 - 2} \geq 0 \]

1. Нахождение точек разрыва и особых точек: Здесь знаменатель не должен быть равен нулю, иначе произойдет деление на ноль. Решим уравнение в знаменателе: \((x-1)^2 - 2 = 0\). Получаем корень: \(x = 1 + \sqrt{2}\).

2. Нахождение интервалов: Разобьем область числовой прямой на интервалы с учетом точки разрыва \(x = 1 + \sqrt{2}\) и проведем аналогичные тесты знаков.

3. Проверка знака на каждом интервале: - В интервале \((- \infty, 1 + \sqrt{2})\) выберем \(x = 0\) (любое число меньше \(1 + \sqrt{2}\)). Подставим в неравенство: \(-\frac{12}{(0-1)^2 - 2} = -\frac{12}{1 - 2} = 12 > 0\). Неравенство не выполняется. - В интервале \((1 + \sqrt{2}, +\infty)\) выберем \(x = 3\) (любое число больше \(1 + \sqrt{2}\)). Подставим в неравенство: \(-\frac{12}{(3-1)^2 - 2} = -\frac{12}{4 - 2} = -6 \leq 0\). Неравенство выполняется.

Следовательно, решение второго неравенства: \(x \in (1 + \sqrt{2}, +\infty)\).

На третьем уравнении \( (x-4)^2 < \sqrt{3} (x-4) + (3x-7)^2 \):

1. Решение уравнения: Преобразуем уравнение и найдем корни: \((x-4)^2 - \sqrt{3} (x-4) - (3x-7)^2 < 0\).

2. Нахождение интервалов: После нахождения корней, проверим знаки выражения в каждом интервале между корнями.

3. Проверка знака на каждом интервале: - Вычислим значения в каждом интервале между корнями и сравним их знак с нулем.

Четвертое уравнение \(x^4 = (x-20)^2\) является уравнением, в котором нужно решить равенство:

1. Решение уравнения: Разложим его на множители или приведем к одной степени.

2. Нахождение корней: Решим уравнение и найдем его корни.

3. **Провер