Question

Уравнения с параметром При каких значениях параметра a уравнение (x-a)/(a+3)=(a-4)/(x-a) не имеет корней (надо привести к общему знаменателю и решить неравенство при котором дискриминант полученного квадратноо уравнения будет меньше нуля).

Answer 1

(x-a)/(a+3)=(a-4)/(x-a)
(x-a)²=(a+3)(a-4)    ⇒
(a+3)(a-4)<0
-∞_____+_____-3_____-_____4_____+_____+∞
a∈(-3;4).

Answer 2

Давайте решим данное уравнение с параметром. Уравнение имеет вид:

\[\frac{{x-a}}{{a+3}} = \frac{{a-4}}{{x-a}}.\]

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на произведение знаменателей:

\[(x-a)(x-a) = (a+3)(a-4).\]

Раскроем скобки:

\[x^2 - 2ax + a^2 = a^2 - 4a + 3a - 12.\]

Упростим:

\[x^2 - 2ax = -2a - 12.\]

Теперь приведем подобные члены:

\[x^2 - 2ax + 2a + 12 = 0.\]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Дискриминант квадратного уравнения имеет вид \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -2a\), и \(c = 2a + 12\). Подставим значения:

\[\Delta = (-2a)^2 - 4(1)(2a + 12).\]

Раскроем скобки:

\[\Delta = 4a^2 - 8a - 48.\]

Теперь у нас есть дискриминант. Мы хотим, чтобы дискриминант был меньше нуля, так как это условие отсутствия действительных корней. Поставим неравенство:

\[4a^2 - 8a - 48 < 0.\]

Теперь разберемся с этим неравенством. Для удобства давайте разделим все на 4:

\[a^2 - 2a - 12 < 0.\]

Теперь факторизуем квадратный трехчлен:

\[(a - 4)(a + 3) < 0.\]

Теперь определим интервалы, на которых это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знак выражения \((a - 4)(a + 3)\) на каждом интервале между корнями:

1. Когда \(a < -3\), оба множителя отрицательны, и произведение положительно. 2. Когда \(-3 < a < 4\), первый множитель отрицателен, а второй положителен, и произведение отрицательно. 3. Когда \(a > 4\), оба множителя положительны, и произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства \(a^2 - 2a - 12 < 0\) (и, следовательно, исходного уравнения) заключается в интервале \(-3 < a < 4\). Таким образом, при значениях параметра \(a\) в этом интервале уравнение \(\frac{{x-a}}{{a+3}} = \frac{{a-4}}{{x-a}}\) не имеет действительных корней.