Question

Найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции на отрезке F(x)=e^(x^2-2x) , [0;2]

Answer 1

F`(x)=(2x-2)e^(x²-2x)=0
2x-2=0⇒x=1∈[0;2]
F(0)=e^0=1наиб
F(1)=e^-1=1/e-наим
F(2)=e^0=1наиб

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции F(x) = e^(x^2-2x) на отрезке [0;2], нужно сначала найти производную функции и найти точки экстремума на этом отрезке.

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = (2x - 2)e^(x^2 - 2x)

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: F'(x) = 0 (2x - 2)e^(x^2 - 2x) = 0

Для этого уравнения существуют два решения: 1) 2x - 2 = 0, откуда x = 1 2) e^(x^2 - 2x) = 0, но экспонента никогда не равна нулю, поэтому это уравнение не имеет решений.

Таким образом, точка x = 1 является точкой экстремума функции F(x).

3. Определим характер экстремума в точке x = 1: Для этого найдем вторую производную функции F(x): F''(x) = (4x^2 - 8x + 2)e^(x^2 - 2x)

Подставим x = 1 во вторую производную: F''(1) = (4 - 8 + 2)e^(1 - 2) = -2e^-1

Так как вторая производная отрицательна, то точка x = 1 является точкой максимума функции F(x) на отрезке [0;2].

4. Найдем значения функции F(x) в концах отрезка: F(0) = e^(0^2 - 2*0) = e^0 = 1 F(2) = e^(2^2 - 2*2) = e^0 = 1

Таким образом, на отрезке [0;2] наибольшее и наименьшее значения функции F(x) равны 1, и достигаются в точках x = 0 и x = 2.