Question

Помогите решить уравнение: (x+2)^4-4(x+2)^2-5=0

Answer 1

$(x+2)^4-4(x+2)-5=0\\\\t=x+2,\; t^2-4t-5=0\\\\t_1=-1,\; t_2=5\; \; (teor.\; Vieta)\\\\x+2=-1,\; x=-3\\\\x+2=5,\; x=3$

Answer 2

Пусть (х+2)²=у
у²-4у-5=0
Д=(-4)²-4*(-5)=16+20=36
$y_{1} = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} =5$
$y_{2} = \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} =-1$

(x+2)²=5
x²+4x+4-5=0
x²+4x-1=0
Д=4²-4*(-1)=16+4=20          √Д=√20=2√5
$x_{1} = \frac{-4+2 \sqrt{5} }{2} = \frac{2(-2+ \sqrt{5} )}{2} =-2+ \sqrt{5}$
$x_{2} = \frac{-4-2 \sqrt{5} }{2} = \frac{2(-2- \sqrt{5}) }{2} =-2- \sqrt{5}$

(x+2)²=-1
x²+4x+4+1=0
x²+4x+5=0
Д=4²-4*5=16-20=-5<0 ⇒ корней нет

Ответ:х=$-2- \sqrt{5} ;-2+ \sqrt{5}$

Answer 3

Давайте решим уравнение \((x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0\). Для удобства введем замену. Обозначим \(y = (x+2)^2\), тогда уравнение примет вид:

\[y^2 - 4y - 5 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = -5\). Дискриминант \(D\) для такого уравнения равен \(D = b^2 - 4ac\).

\[D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36.\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня, которые могут быть найдены по формуле:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}.\]

Таким образом, у нас есть два значения \(y\):

\[y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5\]

\[y_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1.\]

Теперь восстановим значение \(x\), используя замену \(y = (x+2)^2\):

Для \(y_1 = 5\):

\[(x+2)^2 = 5,\]

\[x+2 = \pm\sqrt{5}.\]

Таким образом, два решения для \(y_1\) это:

\[x_1 = -2 + \sqrt{5},\]

\[x_2 = -2 - \sqrt{5}.\]

Для \(y_2 = -1\):

\[(x+2)^2 = -1.\]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

Итак, уравнение \((x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0\) имеет два действительных корня:

\[x_1 = -2 + \sqrt{5},\]

\[x_2 = -2 - \sqrt{5}.\]