Question

(корень из 2+(x^2+1)^3 найти производную. Помогите пожалуйста

Answer 1

$1)\; \; \; y=\sqrt{2}+(x^2+1)^3\\\\y'=0+3\, (x^2+1)^2\cdot (x^2+1)'=3\, (x^2+1)^2\cdot 2x=6x\cdot (x^2+1)^3\\\\\\2)\; \; y=\sqrt{2+(x^2+1)^3}\\\\y'=\frac{1}{2\, \sqrt{2+(x^2+1)^3}}\cdot (2+(x^2+1)^3)'=\\\\=\frac{1}{2\sqrt{2+(x^2+1)^3}}\cdot 3(x^2+1)^2\cdot 2x=\frac{3x\cdot (x^2+1)^2}{\sqrt{2+(x^2+1)^3}}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производную выражения \(\sqrt{2 (x^2 + 1)^3}\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Пусть \(u = 2 (x^2 + 1)^3\), тогда выражение можно записать как \(y = \sqrt{u}\). Теперь мы можем применить chain rule:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

1. Найдем \(\frac{dy}{du}\) — производную \(\sqrt{u}\) по \(u\): \[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]

2. Теперь найдем \(\frac{du}{dx}\) — производную \(u\) по \(x\): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2(x^2 + 1)^3) \]

Для нахождения этой производной применим правила дифференцирования. Используем цепное правило, так как у нас есть функция внутри функции:

\[ \frac{du}{dx} = 6 \cdot 2(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 24x(x^2 + 1)^2 \]

Теперь подставим оба значения обратно в исходное уравнение:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2(x^2 + 1)^3}} \cdot 24x(x^2 + 1)^2 \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{24x(x^2 + 1)^2}{2\sqrt{2(x^2 + 1)^3}} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{12x(x^2 + 1)^2}{\sqrt{2(x^2 + 1)^3}} \]

Таким образом, производная выражения \(\sqrt{2 (x^2 + 1)^3}\) по \(x\) равна \(\frac{12x(x^2 + 1)^2}{\sqrt{2(x^2 + 1)^3}}\).