Question

Кубик подбрасывают 4 раза. найти вероятность выпадания 6 очков 3 раза?

Answer 1

В задаче необходимо найти вероятность события: выпало 6 очков обозначим за A в серии из 4 испытаний не менее 3 раз. Т.е. нужно найти вероятность двух событий выпадения 6 очков в 3-х испытаниях - обозначим как событие B и в 4-х испытаниях - обозначим как событие C серии. Все испытания у нас независимые. Согласно Классического определения вероятности Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. В нашем случае всего 6 возможных исходов (6 граней у кубика n=6) и 1 благоприятствующее (m=1), т.е. вероятность события A равна p(A)=m/n=1/6. Для нахождения вероятности наступления события A в серии независимых испытаний применим формулу Бернулли
Pn,k=Cknpkqn−k
где n - независимые испытания n=6, k - количество наступивших событий (3 или 4 раза выпало 6 очков, т.е. два случая m=3 событие B, m=4 событие C), p - вероятность наступления события A, где p(A)=16, q=1−p=1−16=56 - вероятность противоположного события (т.е. выпало количество очков не равное 6). Подставим в формулу Бернулли
P(B)4,3=C34(1/6)3(5/6)4−3=4!3!(4−3)!1/6^3*5^6=20/6^4
P(C)4,4=C44(1/6)^4*(5/6)^4−4=1/6^4
получили две вероятности - наступления событий B и C. Для нахождения вероятности события P(B+C применим теорему сложения вероятностей. Т.к. события не зависимые, то
P(B+C)=P(B)+P(C)
подставим значения
P(B+C)=P(B)4,3+P(C)4,4=20/6^4+1/6^4=21/6^4=6/432=1/72

Ответ: вероятность выпадения в серии из 4-х испытаний 6 очков не менее 3-х раз равна P(B+C)=1/72

Answer 2

Для нахождения вероятности выпадения определенного числа очков при броске кубика можно воспользоваться формулой вероятности. Вероятность (P) определенного события можно выразить как отношение числа благоприятных исходов (т.е. число способов, которыми событие может произойти) к общему числу возможных исходов.

В данном случае, у нас есть кубик с 6 гранями, и мы бросаем его 4 раза. Для того чтобы найти вероятность того, что на выпадет 6 очков ровно 3 раза, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Формула для биномиальной вероятности:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где: - \( P(X = k) \) - вероятность того, что событие произойдет k раз - \( n \) - общее число испытаний (в данном случае, бросков кубика) - \( k \) - число успешных испытаний (в данном случае, число выпадений 6 очков) - \( C(n, k) \) - количество сочетаний из n по k (число способов выбрать k успешных испытаний из n) - \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (вероятность выпадения 6 на кубике) - \( q \) - вероятность неудачи в одном испытании (\( q = 1 - p \))

В данном случае \( n = 4 \) (4 броска кубика), \( k = 3 \) (3 раза выпадение 6), \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность выпадения 6 на кубике), \( q = 1 - p \).

\[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 \]

\[ P(X = 3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} \]

\[ P(X = 3) = \frac{5}{324} \]

Таким образом, вероятность того, что число 6 выпадет ровно 3 раза при броске кубика 4 раза, составляет \(\frac{5}{324}\).