Question

Решите уравнения в целых числах: 1)x^2+2xy+10y^2=25 2)x^2-2xy+5y^2=16 Заранее спасибо!

Answer 1

1)

 

x^2+2xy+10y^2=25

 

(x+y)^2+9y^2=25 

 

y > 1 - не может быть, т.к. тогда левая часть > 25. Следовательно, y=1, (x+y)^2=16 => x=3, y=1

 

2)

 

x^2-2xy+5y^2=16

 

(x-y)^2+4y^2=16

 

y > 2 - не может быть, т.к. тогда левая часть > 16. Следовательно, y=1 либо y=2.

 

y=1 => (x-y)^2=12 - не подходит, т.к. х в этом случае - не целое число.

 

Значит, y = 2 => (x-y)^2=0 => x = y => x=2, y=2

 

 

Answer 2

Давайте решим данные уравнения в целых числах. Уравнения имеют вид:

1) \(x^2 + 2xy + 10y^2 = 25\)

2) \(x^2 - 2xy + 5y^2 = 16\)

Первое уравнение похоже на квадратичную форму, так что давайте попробуем привести его к каноническому виду. Для этого добавим и вычтем \(y^2\):

1) \(x^2 + 2xy + y^2 + 9y^2 = 25\)

Теперь вынесем полный квадрат по переменной \(x\):

1) \((x + y)^2 + 9y^2 = 25\)

Рассмотрим возможные значения \(y^2\), которые могут сделать это уравнение верным:

а) Если \(y^2 = 0\), то \((x + y)^2 = 25\), что дает два варианта: \(x + y = 5\) или \(x + y = -5\). Решениями будут пары \((5, 0)\) и \((-5, 0)\).

б) Если \(y^2 = 1\), то \((x + y)^2 = 16\), что дает два варианта: \(x + y = 4\) или \(x + y = -4\). Решениями будут пары \((4, 1)\) и \((-4, -1)\).

в) Если \(y^2 = 4\), то \((x + y)^2 = 1\), что не имеет целых решений, так как сумма квадратов двух целых чисел не может быть равна 1.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2) \(x^2 - 2xy + 5y^2 = 16\)

Это уравнение также можно привести к каноническому виду, добавив и вычтя \(y^2\):

2) \(x^2 - 2xy + y^2 + 4y^2 = 16\)

Теперь вынесем полный квадрат по переменной \(x\):

2) \((x - y)^2 + 4y^2 = 16\)

Рассмотрим возможные значения \(y^2\), которые могут сделать это уравнение верным:

а) Если \(y^2 = 0\), то \((x - y)^2 = 16\), что дает два варианта: \(x - y = 4\) или \(x - y = -4\). Решениями будут пары \((4, 0)\) и \((-4, 0)\).

б) Если \(y^2 = 1\), то \((x - y)^2 = 12\), что не имеет целых решений, так как сумма квадратов двух целых чисел не может быть равна 12.

в) Если \(y^2 = 4\), то \((x - y)^2 = 0\), что дает одно решение: \(x - y = 0\), то есть \(x = y\).

Таким образом, целые решения уравнений:

1) \((5, 0), (-5, 0), (4, 1), (-4, -1)\)

2) \((4, 0), (-4, 0), (y, y)\), где \(y\) - любое целое число.