Question

При каких значенияях а отношение корней уравнения 3х2+2х-а=0 равно 2:3

Answer 1

По теореме Виета

х1+х2=-2/3

х1х2=-a/3

 

по уcловию

x1/x2=2/3

 

x1=2/3x2

 

2/3x2+x2=-2/3

5/3x2=-2/3

x2=-2/5

x1=2/3*(-2/5)=-4/15

 

a=x1x2=(-4/15)*(-2/5)=8/75

ответ: 8/75

 

 

Answer 2

Чтобы определить отношение корней уравнения \(3x^2 + 2x - a = 0\), равное \(2:3\), мы можем воспользоваться формулой Виета. Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\) формулы Виета выражаются следующим образом:

1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В данном случае у нас есть уравнение \(3x^2 + 2x - a = 0\). Сравнивая с общей формой квадратного уравнения, мы видим, что \(a = 3\), \(b = 2\), и \(c = -a\).

Теперь, используя формулы Виета:

1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}\) 2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-a}{3}\)

Условие задачи утверждает, что отношение корней равно \(2:3\). Это означает, что \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{2}{3}\).

Давайте воспользуемся этой информацией для поиска значений \(x_1\) и \(x_2\).

Пусть \(x_1 = 2k\) и \(x_2 = 3k\), где \(k\) - некоторая постоянная.

Тогда, согласно условию:

\[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{2}{3} \implies \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3} \]

Это уравнение верно при любых значениях \(k\), где \(k \neq 0\), так как корни уравнения пропорциональны друг другу.

Теперь мы можем использовать формулы Виета для нахождения суммы и произведения корней:

1. Сумма корней:

\[ x_1 + x_2 = 2k + 3k = 5k = -\frac{2}{3} \implies k = -\frac{2}{15} \]

2. Произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = (2k) \cdot (3k) = 6k^2 = \frac{-a}{3} \implies a = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]

Таким образом, при \(a = \frac{2}{5}\), корни уравнения \(3x^2 + 2x - a = 0\) будут иметь отношение \(2:3\).