Question

Найдите точки максимума и минимума f x = 12-8х^2+х^4

Answer 1

$f(x)=12-8x^2+x^4\\f'(x)=0-16x+4x^3=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$

Определим интервалы знакопостоянства функции с помощью метода интервалов и соответственно найдём максимумы и минимумы функции.

$Otvet :\;\\min:\;x=\{-2;2\}\\max:\;x=0$

Answer 2

Конечно, чтобы найти точки максимума и минимума функции \( f(x) = 12 - 8x^2 + x^4 \), нужно сначала найти её производные.

1. Найдем производную первого порядка \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(12 - 8x^2 + x^4) \]

Производная каждого члена функции будет: \[ \frac{d}{dx}(12) = 0 \] \[ \frac{d}{dx}(-8x^2) = -16x \] \[ \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3 \]

Сложим все части вместе: \[ f'(x) = 0 - 16x + 4x^3 = 4x^3 - 16x \]

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить кандидатов на экстремумы: \[ f'(x) = 4x^3 - 16x = 0 \]

Разложим выражение: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Таким образом, получаем три кандидата на точки экстремума: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).

3. Далее, для определения типа экстремума (максимума или минимума) можно воспользоваться второй производной \( f''(x) \) или же провести анализ знаков в окрестностях найденных точек.

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \]

Подставим значения \( x = 0, x = 2, x = -2 \) во вторую производную:

- При \( x = 0: f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \) (отрицательное значение) - это значит, что точка \( x = 0 \) является максимумом. - При \( x = 2: f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 \) (положительное значение) - это значит, что точка \( x = 2 \) является минимумом. - При \( x = -2: f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 \) (положительное значение) - это значит, что точка \( x = -2 \) также является минимумом.

Итак, после анализа производных, мы нашли, что:

- Точка \( x = 0 \) является точкой максимума. - Точки \( x = 2 \) и \( x = -2 \) являются точками минимума для функции \( f(x) \).