Question

Отношение корней квадратного уравнения х^2 + 2x + q = 0 равно 6. Найдите корни уравнения и значение q

Answer 1

Просто найдём корни квадратного уравнения. 
х1,2=-1+-sqrt(1-q) 
С учётом условия: 
-1+sqrt(1-q) =6 * (-1+sqrt(1-q) 
7*sqrt(1-q) = 5 
49*(1-q) = 25 
q = 24/49 
При этом x1 = -12/7, x2=-2/7

Answer 2

Конечно, давайте разберём это уравнение по порядку.

У нас есть квадратное уравнение вида \(x^2 + 2x + q = 0\) с известным отношением корней к уравнению, равным 6.

Отношение корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) задаётся как отношение между корнями \(r_1\) и \(r_2\), которые можно выразить через коэффициенты уравнения:

\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}\)

В данном случае у вас \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = q\).

Из условия задачи, отношение корней равно 6, так что:

\(\frac{r_1}{r_2} = 6\)

Теперь используем формулу для отношения корней:

\(\frac{-2 + \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{-2 - \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot q}} = 6\)

Раскроем скобки и упростим:

\(\frac{-2 + \sqrt{4 - 4q}}{-2 - \sqrt{4 - 4q}} = 6\)

Умножим обе части уравнения на \(-2 - \sqrt{4 - 4q}\), чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

\(-2 + \sqrt{4 - 4q} = 6(-2 - \sqrt{4 - 4q})\)

Раскроем скобки и решим уравнение:

\(-2 + \sqrt{4 - 4q} = -12 - 6\sqrt{4 - 4q}\)

\(\sqrt{4 - 4q} + 6\sqrt{4 - 4q} = -12 + 2\)

\(7\sqrt{4 - 4q} = -10\)

\(\sqrt{4 - 4q} = -\frac{10}{7}\)

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(4 - 4q = \left(-\frac{10}{7}\right)^2\)

\(4 - 4q = \frac{100}{49}\)

\(- 4q = \frac{100}{49} - 4\)

\(- 4q = \frac{100 - 196}{49}\)

\(- 4q = -\frac{96}{49}\)

Теперь найдём значение \(q\):

\(q = \frac{96}{4 \cdot 49}\)

\(q = \frac{24}{49}\)

Таким образом, значение \(q\) равно \(\frac{24}{49}\), а корни уравнения можно найти, подставив это значение \(q\) обратно в исходное уравнение \(x^2 + 2x + q = 0\) или используя квадратное уравнение.