Question

Найти найбольшее и найменьшее значение функции у=х+4/х на промежутке [1;3]

Answer 1

Находим первую производную функции:
y' = 1-4/x²
или
y' = (x²-4)/x²
Приравниваем ее к нулю:
1-4/x² = 0
x1 = -2
x2 = 2
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-2) = -4
f(2) = 4
f(1) = 5
f(3) = 4.3333
Ответ: fmin = 4, fmax = 5

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = \frac{x + 4}{x}\) на промежутке \([1;3]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. 3. Проверить значения функции в найденных критических точках и на концах интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\): \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x + 4}{x}\right) \]

Используя правило дифференцирования частного и правило дифференцирования произведения, получаем: \[ y' = \frac{(x \cdot 1 - (x + 4) \cdot 1)}{x^2} = \frac{-4}{x^2} \]

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: \[ \frac{-4}{x^2} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений, так как -4 не может быть равным нулю.

Шаг 3: Проверим значения функции на концах интервала \([1;3]\) и в "бесконечно удаленной" точке.

a. При \(x = 1\): \[ y(1) = \frac{1 + 4}{1} = 5 \]

b. При \(x = 3\): \[ y(3) = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3} \]

Таким образом, на промежутке \([1;3]\) наименьшее значение функции равно 5 (при \(x = 1\)), а наибольшее значение равно \(\frac{7}{3}\) (при \(x = 3\)).