Question

Помогите решить 1) x=1+√x+11 2) √x-1=x-3 3) √5x+√14-x+8

Answer 1

1) x=1+√x+11
x-1=√x+11
x²-2x+1=x+11
x²-3x-10=0
x1+x2=3     x1=5
x1·x2=-10   x2=-2
2) √x-1=x-3
x-1=x²-6x+9
x²-7x+10=0
x1+x2=7   x1=5
x1·x2=10  x2=2
3) √5x+√14-x+8=0
здесь √14-x+8 под корнем или только √14-x?

Answer 2

Давайте по порядку решим каждое уравнение.

1) \( x = 1 + \sqrt{x + 11} \)

Начнем с того, что выразим \(\sqrt{x + 11}\) из правой стороны уравнения:

\[ x = 1 + \sqrt{x + 11} \]

Теперь выразим \(\sqrt{x + 11}\):

\[ x - 1 = \sqrt{x + 11} \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ (x - 1)^2 = x + 11 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x + 1 = x + 11 \]

Прибавим \( -x - 1 \) к обеим сторонам:

\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Формула для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выглядит так:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 1, b = -3, c = -10 \). Подставим значения:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm 7}{2} \]

Таким образом, получаем два решения:

\[ x_1 = 5 \]

\[ x_2 = -2 \]

Теперь проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

1. При \( x = 5 \): \[ 5 = 1 + \sqrt{5 + 11} \] \[ 5 = 1 + \sqrt{16} \] \[ 5 = 1 + 4 \] (Верно)

2. При \( x = -2 \): \[ -2 = 1 + \sqrt{-2 + 11} \] \[ -2 = 1 + \sqrt{9} \] \[ -2 = 1 + 3 \] (Не верно)

Таким образом, решение уравнения \( x = 1 + \sqrt{x + 11} \) - это \( x = 5 \).

2) \( \sqrt{x - 1} = x - 3 + 3 \)

Упростим правую сторону:

\[ \sqrt{x - 1} = x \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ x - 1 = x \]

Отнимем \( x \) от обеих сторон:

\[ -1 = 0 \]

Это уравнение не имеет решений. Возможно, в процессе решения была допущена ошибка, или уравнение было записано неверно.

3) \( \sqrt{5x} + \sqrt{14 - x} = 8 \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ 5x + 2\sqrt{5x(14 - x)} + (14 - x) = 64 \]

Выразим \(\sqrt{5x(14 - x)}\):

\[ 2\sqrt{5x(14 - x)} = 64 - 5x - (14 - x) \]

\[ 2\sqrt{5x(14 - x)} = 50 - 4x \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 20x(14 - x) = (50 - 4x)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 280x - 20x^2 = 2500 - 400x + 16x^2 \]

Прибавим \( 20x^2 \) и \( 400x \) к обеим сторонам:

\[ 36x^2 + 680x - 2500 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 + 19x - \frac{125}{9} = 0 \]

Воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1, b = 19, c = -\frac{125}{9} \). Подставим значения:

\[ x = \frac{-19 \pm \sqrt{19^2 - 4(1)(-\frac{125}{9})}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{-19 \pm \sqrt{361 + \frac{500}{9}}}{2} \]

\[ x = \frac{-19 \pm \sqrt{\frac{4069}{9}}}{2} \]

\[ x = \frac{-19 \pm \frac{23}{3}}{2} \]

Таким образом, получаем два решения:

\[ x_1 = -\frac{21}{2} \]

\[ x_2 = \frac{1}{6} \]

Теперь проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

1. При \( x = -\frac{21}{2} \): \[ \sqrt{5(-\frac{21}{2})} + \sqrt{14 + \frac{21}{2}} = 8 \] \[ \sqrt{-\frac{105}{2}} + \sqrt{\frac{49}{2}} = 8 \] \[ \frac{i\sqrt{210}}{2} + \frac{\sqrt{98}}{2} = 8 \] (Не верно)

2. При \( x = \frac{1}{6} \): \[ \sqrt{5(\frac{1}{6})} + \sqrt{14 - \frac{1}{6}} = 8 \] \[ \sqrt{\frac{5}{6}} + \sqrt{\frac{83}{6}} = 8 \] \