Question

Решите уравнение (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2)

Answer 1

(x-1)(x²+4x+4)=4(x+2)
(x-1)(x+2)²-4(x+2)=0
(x+2)((x-1)(x+2)-4)=0
(x+2)(x²+x-6)=0
x+2=0
x=-2
D=1+24=25
x1=(-1+5)/2=2
x2=(-1-5)/2=-3

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

\((x - 1)(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)\)

\(x(x^2 + 4x + 4) - 1(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)\)

\(x^3 + 4x^2 + 4x - x^2 - 4x - 4 = 4x + 8\)

2. Упростим уравнение:

\(x^3 + 3x^2 - 4 = 4x + 8\)

3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\(x^3 + 3x^2 - 4 - 4x - 8 = 0\)

\(x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0\)

4. Теперь мы можем попытаться найти решения этого уравнения. Однако, в общем случае, решение уравнений третьей степени может быть сложным. Мы можем воспользоваться различными методами, такими как использование рациональных корней, метод Кардано и другие.

Давайте посмотрим, существуют ли рациональные корни этого уравнения. Рациональный корень \(p/q\) должен удовлетворять уравнению \(p\) делится на коэффициент при старшей степени (в данном случае 1), а \(q\) делится на коэффициент при свободном члене (в данном случае -12).

Мы видим, что коэффициент при старшей степени равен 1, а коэффициент при свободном члене равен -12. Таким образом, рациональные корни могут быть только делителями 12. Попробуем различные значения \(p/q\) вида \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12\).

Если найдется рациональный корень \(p/q\), то мы сможем разделить уравнение на \(x - p/q\) и решить получившееся квадратное уравнение.

5. Проверим значения \(p/q\):

- При \(p/q = 1\) получаем \(1 + 3 - 4 - 12 = -12\). - При \(p/q = -1\) получаем \(-1 + 3 + 4 - 12 = -6\). - При \(p/q = 2\) получаем \(8 + 12 - 8 - 12 = 0\), что означает, что \(x - 2\) является одним из корней.

Таким образом, у нас есть рациональный корень \(x = 2\).

6. Теперь мы можем разделить уравнение на \(x - 2\):

\(\frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x - 2} = 0\)

Решив получившееся квадратное уравнение, мы найдем еще два корня.

Таким образом, решение исходного уравнения:

\[x = 2, \text{ и еще два корня из решения квадратного уравнения}\]