Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=2x⁴-2x³-x²+2

Answer 1

F`(x)=8x³-6x²-2x=2x(4x²-3x-1)=0
x=0
4x²-3x-1=0
D=9+16=25
x1=(3-5)/8=-1/4
x2=(3+5)/8=1
       _              +                    _                      +
___________________________________________
убыв    -1/4  возр      0   убыв         1 возр

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 2 \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \( f'(x) \). 2. Найдите критические точки, приравняв \( f'(x) \) к нулю и решив уравнение. 3. Исследуйте знаки производной в интервалах между критическими точками и вне их.

Начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x \]

2. Теперь найдем критические точки, приравнив \( f'(x) \) к нулю и решив уравнение: \[ 8x^3 - 6x^2 - 2x = 0 \]

Факторизуем это уравнение: \[ 2x(4x^2 - 3x - 1) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( x \): - \( x = 0 \) - \( 4x^2 - 3x - 1 = 0 \)

Решим второе уравнение с использованием квадратного уравнения или факторизации.

Уравнение \( 4x^2 - 3x - 1 = 0 \) факторизуется как \( (4x + 1)(x - 1) = 0 \), поэтому две другие критические точки: - \( x = -\frac{1}{4} \) - \( x = 1 \)

Таким образом, у нас есть три критические точки: \( x = 0, -\frac{1}{4}, 1 \).

3. Теперь исследуем знаки производной в интервалах между критическими точками и вне их:

- В интервале \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \): Выберем точку \( x = -1 \) (меньше чем -1) и подставим в \( f'(x) \): \( f'(-1) = -2 \), что означает, что \( f'(x) < 0 \) в этом интервале.

- В интервале \( (-\frac{1}{4}, 0) \): Выберем точку \( x = -\frac{1}{2} \) и подставим в \( f'(x) \): \( f'(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} \), что означает, что \( f'(x) > 0 \) в этом интервале.

- В интервале \( (0, 1) \): Выберем точку \( x = \frac{1}{2} \) и подставим в \( f'(x) \): \( f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \), что означает, что \( f'(x) > 0 \) в этом интервале.

- В интервале \( (1, +\infty) \): Выберем точку \( x = 2 \) и подставим в \( f'(x) \): \( f'(2) = 20 \), что означает, что \( f'(x) > 0 \) в этом интервале.

Таким образом, у нас есть следующие промежутки:

- Функция убывает на интервалах \((- \infty, -\frac{1}{4})\) и \((0, +\infty)\). - Функция возрастает на интервалах \((-\frac{1}{4}, 0)\) и \((1, +\infty)\).

Таким образом, это даёт информацию о промежутках возрастания и убывания функции \( f(x) = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 2 \).