Question

log4x + log4(x - 6) = 2

Answer 1

Log4x+Log4(x-6)=log4(16)
x*(x-6)=16
x^2-6x-16=0
x1+x2=6
x1*x2=-16
x1=8
x2=-2

Answer 2

Чтобы решить уравнение \(\log_4(x) + \log_4(x - 6) = 2\), давайте воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем свойство логарифмов \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\) для объединения двух логарифмов в один:

\[\log_4(x) + \log_4(x - 6) = \log_4(x \cdot (x - 6))\]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[\log_4(x \cdot (x - 6)) = 2\]

2. Применим определение логарифма: если \(\log_a(b) = c\), то это означает, что \(a^c = b\). Применим это определение:

\[4^2 = x \cdot (x - 6)\]

Упростим уравнение:

\[16 = x^2 - 6x\]

3. Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[x^2 - 6x - 16 = 0\]

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения или факторизации. В данном случае воспользуемся факторизацией:

\[(x - 8)(x + 2) = 0\]

Таким образом, у нас два возможных значения \(x\):

\(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

или

\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

5. Однако мы должны убедиться, что оба значения \(x\) удовлетворяют исходному уравнению. Подставим их:

a. При \(x = 8\):

\[\log_4(8) + \log_4(8 - 6) = 2\]

\[\log_4(8) + \log_4(2) = 2\]

\[3/2 + 1/2 = 2\]

Уравнение выполняется.

b. При \(x = -2\):

\[\log_4(-2) + \log_4(-2 - 6)\]

Логарифм отрицательного числа не определен в вещественных числах, поэтому \(x = -2\) не удовлетворяет исходному уравнению.

Таким образом, решение уравнения \(\log_4(x) + \log_4(x - 6) = 2\) - это \(x = 8\).