Question

Решите уравнение x^3+4x^2=9x+36

Answer 1

X²(x+4)-9(x+4)=0
(x+4)(x-3)(x+3)=0
x=-4  x=3  x=-3

Answer 2

Давайте решим уравнение \(x^3 + 4x^2 = 9x + 36\).

1. Приведем уравнение к стандартному виду \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\):

\[x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\]

2. Попробуем найти рациональные корни уравнения. Воспользуемся рациональным корнем теоремы. Пусть \(p/q\) — рациональный корень уравнения. Тогда \(p\) — делитель свободного члена (-36), а \(q\) — делитель коэффициента при старшей степени (1).

Возможные значения для \(p\) это \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm9, \pm12, \pm18, \pm36\).

Подставим эти значения и проверим, есть ли рациональные корни. Первый рациональный корень \(x_1\) найден.

\[x_1 = -3\]

3. Теперь разделим уравнение на \((x - x_1)\), используя синтетическое деление или деление в столбик:

\[\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x - x_1}\]

где \(x_1 = -3\).

\[x^2 + x + 12\]

Получили квадратное уравнение. Решим его с использованием квадратного уравнения.

4. Решим уравнение \(x^2 + x + 12 = 0\) с использованием квадратного уравнения. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 1\), и \(c = 12\).

\[D = 1^2 - 4(1)(12) = 1 - 48 = -47\]

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения два комплексных корня.

\[x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm i\sqrt{47}}{2}\]

Итак, уравнение \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\) имеет три корня:

\[x_1 = -3\] \[x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{47}}{2}\] \[x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{47}}{2}\]