Question

Пользуясь определением,найдите производную функции f(x) в каждой точке D(f):а) f(x)=√x-2б) f(x)=4-2/x^2

Answer 1

А) $\sqrt{x-2}$
Область определения больше равно нуля
$x-2 \geq 0 \\ x \geq 2$
Производная функции f(x) будет в точке х0=2(так как 2 входит в неравенство)
$(\sqrt{x} )'= \frac{1}{2 \sqrt{x} }$
$f'(x)=( \sqrt{x-2} )'\cdot (x-2)'=2\cdot \frac{1}{2 \sqrt{x-2} } = \frac{1}{ \sqrt{x-2} }$
Получили производную, в точке х0=2 функция производной не будет иметь смысл, так как на 0 делить нельзя
б) $f(x)=4- \frac{2}{x^2}$
Область определения знаменатель не должен равен нулю
$x \neq 0$
$f'(x)= \frac{4x}{x^4} = \frac{4}{x^3}$
Опять же 0 не входит в ОДЗ и на ноль делить нельзя.

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций.

а) \( f(x) = \sqrt{x} - 2 \)

1. Найдем производную \( f'(x) \):

Используем правило дифференцирования композиции функций (цепное правило): \[ (g \circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \]

В данном случае: \[ g(x) = \sqrt{x}, \quad h(x) = x - 2 \]

Производные: \[ g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad h'(x) = 1 \]

Применяем цепное правило: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot 1 \]

2. Найдем точки, где \( f'(x) \) не существует:

Корень не существует для отрицательных значений под корнем. Таким образом, \( x - 2 \geq 0 \), отсюда \( x \geq 2 \).

3. Найдем точки, где \( f'(x) = 0 \):

Решим уравнение \( \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 0 \):

Нет решений, так как знаменатель не может быть равен нулю.

4. Найдем точки, где \( f'(x) \) не существует или равна нулю:

\( x \geq 2 \), и нет точек, где \( f'(x) = 0 \).

5. Окончательный ответ:

Производная функции \( f(x) = \sqrt{x} - 2 \) существует и непрерывна для всех значений \( x \geq 2 \), и в этих точках она равна \( \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \).

б) \( f(x) = 4 - \frac{2}{x^2} \)

1. Найдем производную \( f'(x) \):

Используем правило дифференцирования частного: \[ (h/g)'(x) = \frac{h'(x) \cdot g(x) - h(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} \]

В данном случае: \[ h(x) = 4, \quad g(x) = x^2 \]

Производные: \[ h'(x) = 0, \quad g'(x) = 2x \]

Применяем правило: \[ f'(x) = \frac{0 \cdot x^2 - 4 \cdot 2x}{x^2} \] \[ f'(x) = \frac{-8x}{x^2} = -\frac{8}{x} \]

2. Найдем точки, где \( f'(x) \) не существует:

\( f'(x) \) существует для всех значений \( x \), кроме \( x = 0 \), так как в знаменателе присутствует переменная \( x \).

3. Найдем точки, где \( f'(x) = 0 \):

Решим уравнение \( -\frac{8}{x} = 0 \):

Нет решений, так как дробь не может быть равна нулю.

4. Найдем точки, где \( f'(x) \) не существует или равна нулю:

\( f'(x) \) существует для всех значений \( x \), кроме \( x = 0 \), и в этих точках она не равна нулю.

5. Окончательный ответ:

Производная функции \( f(x) = 4 - \frac{2}{x^2} \) существует для всех \( x \neq 0 \), и в этих точках она равна \( -\frac{8}{x} \).