Question

Решить уравнения: а) sin 2x=sin 4x b) cos 2x+5 cos x=3 Распишите подробно

Answer 1

A)
$sin 2x=sin 4x$
$sin 4x-sin2x=0$
$2sin \frac{4x-2x}{2}*cos \frac{4x+2x}{2} =0$
$2sin x*cos 3x=0$
$sin x*cos 3x=0$
$cos 3x=0$                   или       $sin x=0$
$3x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или      $x= \pi k,$ $k$ ∈ $Z$
$x= \frac{ \pi }{6} + \frac{\pi n}{3} ,$ $n$ ∈ $Z$

b)
$cos 2x+5 cos x=3$
$2cos^2x-1+5 cos x-3=0$
$2cos^2x+5 cos x-4=0$
Замена: $cosx=a,$  $|a| \leq 1$
$2a^2+5a-4=0$
$D=5^2-4*2*(-4)=57$
$a_1= \frac{-5- \sqrt{57} }{4}$  ∅
$a_2= \frac{-5+ \sqrt{57} }{4}$
$cosx= \frac{-5+\sqrt{57} }{4}$
$x=бarccos\frac{-5+\sqrt{57} }{4} +2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

Answer 2

Конечно, начнем с решения уравнения \( \sin(2x) = \sin(4x) \).

Уравнение 1: \( \sin(2x) = \sin(4x) \)

Используем тригонометрическую тождественность \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \) и преобразуем уравнение:

\[ \sin(2x) = \sin(4x) \implies 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \]

Теперь преобразуем \( \sin(2x) \) и \( \cos(2x) \) через базовые тригонометрические формулы:

\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2(2\sin(x)\cos(x))(1 - 2\sin^2(x)) \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ 2\sin(x)\cos(x) = 4\sin(x)\cos(x) - 4\sin^3(x)\cos(x) \]

Теперь выразим \( \sin(x)\cos(x) \) через общий множитель:

\[ 0 = 4\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 4\sin^3(x)\cos(x) \]

Теперь факторизуем:

\[ 0 = 2\sin(x)\cos(x)(2 - 1 - 2\sin^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \( \sin(x)\cos(x) = 0 \) 2. \( 1 - 2\sin^2(x) = 0 \)

1. \( \sin(x)\cos(x) = 0 \)

Тогда это равенство будет истинным, если либо \( \sin(x) = 0 \), либо \( \cos(x) = 0 \).

Если \( \sin(x) = 0 \), тогда \( x = 0 + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \).

Если \( \cos(x) = 0 \), тогда \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \).

2. \( 1 - 2\sin^2(x) = 0 \)

Решим это уравнение:

\[ 1 - 2\sin^2(x) = 0 \implies \sin^2(x) = \frac{1}{2} \implies \sin(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Это уравнение будет истинным, если \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Таким образом, все возможные решения уравнения \( \sin(2x) = \sin(4x) \): - \( x = 0 + k\pi \) - \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) - \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \) - \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Уравнение 2: \( \cos(2x) + 5\cos(x) = 3 \)

Это уравнение включает квадрат косинуса и обычный косинус. Попробуем преобразовать его.

Попробуем заменить \( \cos(2x) \) через более простые тригонометрические функции:

Используя формулу двойного угла \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \):

\[ 2\cos^2(x) - 1 + 5\cos(x) = 3 \]

Преобразуем это уравнение:

\[ 2\cos^2(x) + 5\cos(x) - 4 = 0 \]

Теперь проведем замену, например, \( u = \cos(x) \):

\[ 2u^2 + 5u - 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Можем решить его с помощью дискриминанта или метода факторизации.

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 2, \, b = 5, \, c = -4 \):

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 25 + 32 = 57 \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[ u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{57}}{4} \]

Теперь найдем значения \( x \) через обратную замену \( \cos(x) = u \).

Итак, решения уравнения \( \cos(2x) + 5\cos(x) = 3 \): \[ \cos(x) = \frac{-5 + \sqrt{57}}{4} \text{ или } \cos(x) = \frac{-5 - \sqrt{57}}{4} \]

После нахождения значения \( x \) через \( \cos(x) \) мы получим конечные ответы для \( x \).