Question

При каких значениях а уравнение ax^2-(a+1)x+2a-1=0 имеет один корень?

Answer 1

Стоит заметить, что при $a=0$ уравнение имеет единственный корень, равный $-1$.

Положим $a\ne 0$, имеем

$D=(a+1)^2-4\cdot a\cdot (2a-1)=a^2+2a+1-8a^2+4a=-7a^2+6a+1$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант обращается в нуль, т.е.

$-7a^2+6a+1=0\\ 7a^2-6a-1=0\\ D=36+4\cdot7\cdot1=64\\ \\ a_1=-\dfrac{1}{7}\\ \\ a_2=1$

Answer 2

При каких значениях а уравнение ax^2-(a+1)x+2a-1=0 имеет один корень?

Чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном уравнении коэффициенты a, b и c равны: a = a b = -(a+1) c = 2a-1

Подставим эти значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю: D = (-(a+1))^2 - 4a(2a-1) = 0

Решим полученное уравнение относительно a: ((-a-1)^2) - 4a(2a-1) = 0

Решение этого уравнения даст нам значения a, при которых исходное уравнение имеет один корень.

Примечание: Для удобства решения, мы будем использовать символ ^ для обозначения возведения в степень.

Решение:

((-a-1)^2) - 4a(2a-1) = 0

Раскроем скобки: (a^2 + 2a + 1) - 4a(2a-1) = 0

Упростим выражение: a^2 + 2a + 1 - 8a^2 + 4a = 0

Сгруппируем подобные слагаемые: -7a^2 + 6a + 1 = 0

Решим полученное квадратное уравнение: a = (-6 ± √(6^2 - 4*(-7)*1)) / (2*(-7))

Выполним вычисления: a = (-6 ± √(36 + 28)) / (-14) a = (-6 ± √64) / (-14) a = (-6 ± 8) / (-14)

Таким образом, получаем два значения a: a = (-6 + 8) / (-14) = 2 / (-14) = -1/7 a = (-6 - 8) / (-14) = -14 / (-14) = 1

Итак, уравнение ax^2-(a+1)x+2a-1=0 имеет один корень при значениях a равных -1/7 и 1.