Question

При каком значении параметра p система уравнений имеет одно решение?

Answer 1

Система  { x² +y² =1 ; x² +y =p  уравнений имеет одно решения . 
-----------
р - ?

Если система имеет решения (x₁ ; y₁) , то решения будет и (-x₁;y₁), поэтому для того чтобы система имела  одно решения НЕОБХОДИМО (но не достаточно )   x₁=0 .
Следовательно p =y = ± 1.  p =1 не удовлетворяет .

ответ :  p =-1. 
- - - - - - - - - - - - - -    2 вариант   - - - - - - - - - - - - - - 
Графический метод   { x² +y² =1 ; y = - x² +р .
График первого  уравнения окружность радиусом R=1 и с центром в точке O(0;0) _начало координат.
График второго  уравнения  парабола с вершиной  в точке В(0  ; р) , ветви
 направлены вниз ( ↓ по -у) .
Эти кривые имеют одно общую  точку, если  p = -1. 

Answer 2

Для системы линейных уравнений вида:

\[a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\] \[a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\] \[\vdots\] \[a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m\]

где \(a_{ij}\) - коэффициенты, \(x_i\) - переменные, а \(b_i\) - свободные члены, система имеет единственное решение, если и только если матрица коэффициентов \(A\) (размера \(m \times n\)) является невырожденной, то есть её определитель \(|A|\) не равен нулю.

Если \(|A| \neq 0\), то система имеет единственное решение, которое может быть найдено с использованием метода Крамера или других методов решения систем линейных уравнений.

Если же \(|A| = 0\), то система может иметь бесконечное количество решений или быть несовместной (не иметь решений). В этом случае, необходимо дополнительно исследовать систему для определения её типа.

Таким образом, при \(|A| \neq 0\) система имеет одно решение, при \(|A| = 0\) может быть различные сценарии в зависимости от структуры системы.