Question

Разложите многочлен на линейные множители: (x^5)-(4x^4)+(14x^2)-(17x)+6

Answer 1

X=1 корень данного многочлена ( 1 - 4 + 14 -17 + 6 = 0 ) ;
x^5-4x^4+14x^2-17x+6 =x^5-x^4  -3x^4 +3x³ -3x³ +3x² +11x² -11x - 6x +6 =
x^4 (x-1) -3x³(x-1) -3x²(x-1) +11x(x-1) -6(x-1) =
(x-1)*(x^4 -3x³ -3x² +11x -6) аналогично x=1 корень  для многочлена  x^4 -3x³ -3x² +11x -6
 * * * 1^4 -3*1³ -3*1² +11*1 -6 = 1 -3 -3 +11-6 =0 * * *
x^4 -3x³ -3x² +11x -6 =x^4 -x³ -2x³ +2x² -5x² +5x +6x-6 =x³(x-1)-2x²(x-1) -5x(x-1)+6(x-1)=
(x-1)(x³ -2x²-5x +6)  опять x=1 корень    многочлена x³ -2x²-5x +6.
 x³ -2x²-5x +6 = x³ -x² -x² +x -6x+6 =x²(x-1) -x(x-1)- 6(x-1) =(x-1)(x² -x+6).
получилось x=1 многократный (3-кратный) корень исходного многочлена.
x^5-4x^4+14x^2-17x+6 =(x-1)³(x²-x -6) =(x-1)³(x +2)(x-3).

* * *  x²-x +6 =(x-x₁)(x-x₂) , где   x₁= -2  и  x₂=3 корни квадратного трехчлена  x²-x +6 * * * 
****************************************
Если  многочлен имеет целые корни то они делители свободного члена ( в данном случае 6 : делители  {±1 ; ±2 ; ±3 ; ±6} .Проверка показывает, что x= -2  и x =3  корни.Значит многочлен  делится на  (x-(-2)(x-3) =(x+2)(x-3) = x²-x -6.
По столбикам :
x^5-4x^4+14x^2-17x+6  | x² - x -6
                                         |----------------------  
                                         |  x³ -3x²+3x -1
Или по Схема  Горнера.

Answer 2

Ответ. х^5-4*x^4+14*x^2-17*x+6=(x+2)*(x-3)*(x-1)^3;

Answer 3

Конечно, чтобы разложить этот многочлен на линейные множители, нам нужно использовать метод факторизации поиска корней.

У нас есть многочлен: \(x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6\).

Первым шагом можно попробовать найти рациональные корни этого многочлена при помощи рационального корня теоремы (theorem for rational roots). По этой теореме, рациональный корень \(p/q\) (где \(p\) - делитель свободного члена, \(q\) - делитель старшего коэффициента) может помочь нам в поиске корней.

Сначала найдем все возможные делители свободного члена (6) и старшего коэффициента (1) и составим все возможные рациональные комбинации их частей:

Делители 6: \(±1, ±2, ±3, ±6\) Делители 1: \(±1\)

Следовательно, возможные рациональные корни: \(±1, ±2, ±3, ±6\).

Давайте проверим эти значения, используя метод синтетического деления или подстановку в многочлен, чтобы найти корни.

Пробуем подставить \(x = 1\):

\((1)^5 - 4(1)^4 + 14(1)^2 - 17(1) + 6 = 1 - 4 + 14 - 17 + 6 = 0\).

\(x = 1\) является корнем. Теперь мы можем разделить исходный многочлен на \(x - 1\) с помощью синтетического деления или деления с остатком:

\((x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6) \div (x - 1)\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} & x^5 & -4x^4 & +14x^2 & -17x & +6 \\ \hline x-1 & x^5 & -x^4 & & & \\ & & -3x^4 & +14x^2 & & \\ \hline & & -3x^4 & +14x^2 & -17x & \\ & & & -17x & +17 & \\ \hline & & & & 0 & \end{array} \]

Таким образом, мы получаем частное: \(x^4 - 3x^3 + 14x^2 - 17x + 17\).

Теперь у нас есть частное многочлена после деления на \(x - 1\). Давайте продолжим поиск других корней, применяя тот же процесс.

Этот метод следует повторять, пока многочлен не будет полностью разложен на линейные множители.