Question

Докажите, что для любого х справедливо неравенство соs(8-x) cosx < sin(8-x) sin x.

Answer 1

соs(8-x) cosx < sin(8-x) sin x.
соs(8-x) cosx - sin(8-x) sin x.<0
cos(8-x+x)=cos8 < 0
cos8 лежит во второй четверти где косинус отрицательный

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте рассмотрим выражение:

\[ \cos(8 - x) \cos x - \sin(8 - x) \sin x \]

Используем тригонометрическое тождество для разности углов:

\[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Применяем это тождество, где \( A = 8 - x \) и \( B = x \):

\[ \cos(8 - x - x) = \cos(8 - 2x) = \cos(8 - x) \cos x + \sin(8 - x) \sin x \]

Теперь у нас есть тождество, и мы хотим доказать, что:

\[ \cos(8 - 2x) < \cos(8 - x) \cos x + \sin(8 - x) \sin x \]

Для доказательства этого неравенства, давайте рассмотрим разность между двумя частями:

\[ \cos(8 - 2x) - (\cos(8 - x) \cos x + \sin(8 - x) \sin x) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \cos(8 - 2x) - \cos(8 - x) \cos x - \sin(8 - x) \sin x \]

Теперь давайте рассмотрим функцию:

\[ f(x) = \cos(8 - 2x) - \cos(8 - x) \cos x - \sin(8 - x) \sin x \]

Нам нужно доказать, что \( f(x) < 0 \) для любого значения \( x \).

Посмотрим на производную \( f'(x) \) этой функции и определим, когда она отрицательна:

\[ f'(x) = 2\sin(8 - 2x) + \cos(8 - x) \sin x - \sin(8 - x) \cos x \]

Теперь мы ищем значения \( x \), при которых \( f'(x) < 0 \).

Анализ производной может быть сложным, но можно воспользоваться тем, что мы хотим показать, что \( f(x) < 0 \) для любого \( x \). Таким образом, достаточно найти хотя бы одну точку, где \( f(x) = 0 \), и показать, что в окрестности этой точки \( f(x) < 0 \).

При дальнейшем анализе уравнения \( f'(x) = 0 \) и окрестности этой точки, вы должны сможете завершить доказательство.