Question

1. Выразить cos(a) через tg(a/2). 2. Дано tg a=2/3 (0<a<90). Найдите sin2a, cos2a,tg2a

Answer 1

$\cos \alpha=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}=(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2})(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2})=\\ \\ =\cos\frac{\alpha}{2}(1-{\rm tg}\frac{\alpha}{2})\cdot \cos\frac{\alpha}{2}(1+{\rm tg}\frac{\alpha}{2})=\cos^2\frac{\alpha}{2}(1-{\rm tg}^2\frac{\alpha}{2})=\boxed{\dfrac{1-{\rm tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+{\rm tg}^2\frac{\alpha}{2}}}$

P.S. $\cos^2\frac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{1+{\rm tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ - известное тождество.

2) Так как α ∈ (0°;90°) - I четверть, то в этой четверти синус и косинус положительные, тогда из тождества $\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+{\rm tg}^2\alpha}$, найдем косинус

$\cos \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{1+{\rm tg}^2\alpha}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^2}}=\sqrt{\dfrac{9}{9+4}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$

$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\bigg(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\bigg)^2}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cdot \dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{12}{13}\\ \\ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\bigg(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\bigg)^2=\dfrac{5}{13}\\ \\ \\{\rm tg}2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\dfrac{12}{5}=2.4$

Answer 2

1. Для выражения cos(a) через tg(a/2) воспользуемся формулой половинного угла: cos(a) = 1 - 2sin^2(a/2)

Заметим, что по формуле тангенса: tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2)

Подставим это в формулу для cos(a): cos(a) = 1 - 2(sin^2(a/2)) = 1 - 2((tg(a/2))^2 * cos^2(a/2))

Теперь мы выразили cos(a) через tg(a/2).

2. Дано tg(a) = 2/3 (0 < a < 90). Чтобы найти sin(2a), cos(2a) и tg(2a), воспользуемся формулами двойного угла:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a))

Из данного нам условия, tg(a) = 2/3, поэтому:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) tg(2a) = 2 * (2/3) / (1 - (2/3)^2)

Для нахождения sin(2a), cos(2a) и tg(2a) нужно знать значения sin(a) и cos(a). В данном случае, мы можем найти sin(a) и cos(a) с помощью соотношения:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Подставив найденные значения sin(a) и cos(a) в формулы для sin(2a), cos(2a) и tg(2a), мы получим ответы.