Question

Найдите производную функции f(x)=√3x+2+x^4 f(x)=(-x²+2x)³+(x+3)^4 f(x)=√7+14x-5x^6 f(x)=(-4x³+1)^4-(2-x)^5

Answer 1

$1. \ f'(x)=(3x+2+x^4)'* \frac{1}{2 \sqrt{3x+2+x^4} } = \frac{3+4x^3}{2 \sqrt{3x+2+x^4}} \\ 2. \ f'(x)=(-x^2+2x)'*3(-x^2+2x)^2+(x+3)'*4(x+3)^3=\\=3(-2x+2)(-x^2+2x)^2+4(x+3)^3=\\=(6-6x)(-x^2+2x)^2+4(x+3)^3\\ 3. \ f'(x)=(7+14x-5x^6)'* \frac{1}{2 \sqrt{7+14x-5x^6} } = \frac{14-30x^5}{\sqrt{27+14x-5x^6}} \\ 4. \ f'(x)=(-4x^3+1)'*4(-4x^3+1)^3-(2-x)'*5(2-x)^4=\\=(-12x^2)*4(-4x^3+1)^3+1*5(2-x)^4=\\=-48x^2(-4x^3+1)^3+5(2-x)^4$

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из данных функций.

1. Функция \( f(x) = \sqrt{3x} + 2 + x^4 \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{3x}) + \frac{d}{dx}(2) + \frac{d}{dx}(x^4) \]

Используем правила дифференцирования: - \(\frac{d}{dx}(\sqrt{3x}) = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3 = \frac{1}{2\sqrt{3x}}\) - \(\frac{d}{dx}(2) = 0\) (производная константы равна нулю) - \(\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3\)

Теперь сложим все производные: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x}} + 0 + 4x^3 = \frac{1}{2\sqrt{3x}} + 4x^3 \]

2. Функция \( f(x) = (-x^2 + 2x)^3 + (x + 3)^4 \):

Используем цепное правило и степенные правила: \[ f'(x) = 3(-x^2 + 2x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x) + 4(x + 3)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x + 3) \]

- \(\frac{d}{dx}(-x^2 + 2x) = -2x + 2\) - \(\frac{d}{dx}(x + 3) = 1\)

Подставим все значения и упростим: \[ f'(x) = 3(-x^2 + 2x)^2(-2x + 2) + 4(x + 3)^3 \]

3. Функция \( f(x) = \sqrt{7} + 14x - 5x^6 \):

Используем степенные правила и правило дифференцирования корня: \[ f'(x) = 0 + 14 - 30x^5 = 14 - 30x^5 \]

4. Функция \( f(x) = (-4x^3 + 1)^4 - (2 - x)^5 \):

Используем степенные правила и правило дифференцирования разности: \[ f'(x) = 4(-4x^3 + 1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(-4x^3 + 1) - 5(2 - x)^4 \cdot \frac{d}{dx}(2 - x) \]

- \(\frac{d}{dx}(-4x^3 + 1) = -12x^2\) - \(\frac{d}{dx}(2 - x) = -1\)

Подставим все значения и упростим: \[ f'(x) = 4(-4x^3 + 1)^3(-12x^2) + 5(2 - x)^4 \]

Это окончательные ответы для производных данных функций.